^^Funzione da un insieme ad un altro.

f:X→Y applicazione di un insieme X in un insieme Y

f:X→Y   leggesi:  effe tale che X va in Y;
            X dominio di f; Y codominio di f

f:X→Y applicazione di un insieme X in un insieme Y 

Definire "funzione" come particolare relazione

una funzione f:X→Y,  f:dom(f)→cod(f), e':

  1. e' una particolare relazione di XinY
  2. e' un insieme di coppie ordinate del prodotto cartesiano XxY del dominio col codominio dom(f)xcod(f)
  3. e' un insieme di coppie ordinate di XxY
  4. e' un particolare insieme di coppie ordinate di XxY
  5. e' un sottoinsieme di XxY, un sottoinsieme particolare di XxY
  6. e' un elemento dell'insieme delle parti P(XxY)

per cui (particolare nel senso che)

  1. ad ogni elemento di X corrisponde 1 ed 1 solo elemento di Y
  2. ad ogni elemento di X corrisponde
  3. ogni elemento del dominio e' in 1 e 1 sola coppia ordinata.

Una funzione e' sia un insieme che un elemento di un altro insieme

f⊆XxY        f e' un sottoinsieme di XxY

f∊P(XxY)   f e' un elemento dell'insieme delle parti di XxY.

Niente di speciale, e' nella natura della teoria degli insiemi:

un sottoinsieme S di un insieme X

S⊆X  e   S∊P(X).

La cosa speciale e' che ripetendo il procedimento si ottiene una "gerarchia, stratificazione, livelli, ..." complessita'.

ref: serve per capire:

Lo spazio funzionale X→Y e' isomorfo al prodotto cartesiano Y|X| .

Applicazione parziale, funzione parziale

f:X→Y applicazione parziale    funzione parziale

f:X→Y non e' necessariamente definita su tutto X

lk: wpIT, wpENjohndcook(da leggere)

Definizione che provoca confusione a causa del suo nome

Non confondere con  Funzione sezione, applicazione parziale.

Roberto Occa: la mia proposta e'

sottoapplicazione f:X→Y puo' non essere definita su tutto X.
Anche: relazione univoca di XinY.

nm: f:X→Y  funzione totale

avendo introdotto "parziale", quando si vuole precisare che e' definita su tutto X, diciamo "totale". E' coerente con la terminologia delle relazioni:

relazione totale := relazione definita per ogni elemento del primo insieme.

 

Dirlo

  1. 1 elemento ∈ dominio,  2 elemento ∈ codominio
  2. f⊆XxY:  ∀x∊X ∃!y∊Y: (x,y)∊f    abbreviabile

    f⊆XxY:  ∀x∊X ∃!(x,y)∊f

Dirlo

≡ al 1 elemento corrisponde il 2

≡ il 2 elemento e' l'immagine del 1

≡ il 1 va nel 2

Dirlo

≡ uno ed un solo

≡ uno e non piu' di 1

≡ almeno uno e non piu' di 1

X={a,b,c}  Y={1,2,3,4}, XxY={(a,1), ... ,(c,4)}

      1     2     3     4
a   (a,1) (a,2) (a,3) (a,4)
b (b,1) (b,2) (b,3) (b,4)
c (c,1) (c,2) (c,3) (c,4)

ref:Prodotto cartesiano di 2 insiemi

es applicazioni f:X→Y

f1 = {(a,3), (b,2), (c,4)}    iniettiva 
f2 = {(a,2), (b,3), (c,3)} non iniettiva
f3 = {(a,3), (b,3), (c,3)} costante al valore 3
f4 = {(a,1), (b,1), (c,1)} costante al valore 1

non applicazione

 
f5 = {(a,3), (c,4)} ∃ element senza img
f6 = {(a,2), (b,3), (b,1), (c,1)} ∃ element con piu' img

Applicazione ≡ funzione in astratto insiemistico

funzione vista in ambito insiemistico

guardare solo agli aspetti descrivibili in termini insiemistici.

Ma quali sono questi "termini insiemistici"?

  1. coppia ordinata, selezione, insieme dei sottoinsiemi di un insieme, unione, intersezione,
  2. definire "composizione di applicazioni": non richiede la formula.
    Le proprieta' degli insiemi di funzioni rispetto alla loro composizione.
  3. definire "funzione inversa": non richiede la formula
  4. non usare operazioni algebriche o analitiche, solo operazioni sugli insiemi.
  5. lo studio di funzioni definite su insiemi finiti, es permutazioni.

Il vantaggio di questa visione e' di sganciarsi dal procedimento di calcolo che ha generato la funzione, e di studiare solo cio' che si puo' dire a tale livello di astrazione.

Argomento della pagina: funzione in ambito insiemistico

qui vogliamo parlare di funzione in ambito insiemistico, invece

  1. per le funzioni reali variabile reale e simili
    Funzione matematica.
    in ix Funzione, applicazione, funzionale, operatore.
  2. per una esposizione a livello scuola media superiore
    y=f(x), leggesi "y = effe di x", e' la notazione per una funzione.
    in ix Corrispondenza; funzione.

Prodotto cartesiano XxY, e grafico di una funzione

 

...                    
9 (1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9) (9,9)  
8 (1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8) (8,8) (9,8)  
7 (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7) (7,7) (8,7) (9,7)  
6   (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (7,6) (8,6) (9,6)  
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (7,5) (8,5) (9,5)  
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (7,4) (8,4) (9,4)  
3   (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (7,3) (8,3) (9,3)  
2   (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (7,2) (8,2) (9,2)  
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (7,1) (8,1) (9,1)  
   1  2  3  4  5  6  7  8  9 ...   

 

definire una funzione f:X→Y   selezionare una e una sola coppia ordinata sopra ogni punto del dominio (cioe' in ogni colonna).

visione insiemistica VS visione computazionale

Le due visioni sono compatibili, solo che si focalizzano su aspetti diversi:

Grafico di una funzione

Data una funzione computazionale, es f(x):= x2+3

il grafico della funzione e' definito da
{(x,y)∈XxY: y=f(x)}.

Il grafico, in insiemistica, e' la funzione stessa poiche' i ragionamenti insiemistici si basano solo sull'esistenza dell'insieme di coppie ordinate, e quindi irrilevante il calcolo, non si usera' mai l'espressione analitica.

Per una visione unificata-astratta

una successione e' una funzione il cui dominio sono gli interi f:N→Y

non bisogna lasciarsi ingannare da come e' usualmente scritta, e' cmq una funzione;

  • a1, a2, ... , an, ...  
  • a(1), a(2), ... , a(n), ...  
una successione scritta nella notazione usuale di funzione

 

   
Una successione finita e' una funzione f:(1, 2, ..., n)→Y
  • a1, a2, ... , an
  • a(1), a(2), ... , a(n)
si puo' identificare  (e' in corrispondenza biunivoca) con un n-pla (a,b,c,...,u).

In particolare una successione finita di 2 elementi  a1, a2  f:(1,2)→Y si puo' identificare (e' in corrispondenza biunivoca) con la coppia ordinata (a1, a2) o (a,b).

ref: Somma e prodotto di funzioni, e altre op.

Links

Spazio funzionale delle funzioni da un insieme ad un altro.

 

Teo: A function over a set may be identified with a directed graph

a function f:X→X is identified with the directed graph where

ref: Relazione binaria tra 2 insiemi; in un insieme.

 

 

Teo: i sottoinsiemi delle controimmagini di una funzione sono una partizione del dominio.

dim: ogni elemento del dominio e' controimmagine di un elemento, poiche' per def ha un'immagine.

Elementi diversi hanno controimmagini diverse, altrimenti se fosse uguale, questo elemento avrebbe 2 img distinte, contrariamente alla def di funzione; quindi

gli insiemi controimmagini di 2 elementi distinti, non possono avere un elemento in comune, sono disgiunti.

 

ref: Compatibilita' di strutture, organizzazioni integrate.

 

 

Approfond

Dirlo equi

A function is a relation such that for every x in X there exists a unique pair (x, y) in the relation.