f:X→Y applicazione f di un insieme X in un insieme Y
∀x∈X ∃! y∈Y: x→y ≡ f(x) = y ≡ x→f(x)
immagine di x (tramite f)
effe tale che X va in Y; l'insieme X va nell'insieme Y
X dominio di f ; dom(f) ; insieme di partenza
Y codominio di f ; cod(f) ; insieme di arrivo
f(X) ran(f) range di f
e' un particolare sottoinsieme di XxY in cui ogni elemento del dominio e' in 1 e 1 sola coppia ordinata.
Nella terminologia delle relazioni
una funzione e' una relazione univoca e totale nel dominio.
f⊆XxY f e' un sottoinsieme di XxY
f∊P(XxY) f e' un elemento dell'insieme delle parti di XxY.
Niente di speciale, e' nella natura della teoria degli insiemi:
un sottoinsieme S di un insieme X
S⊆X e S∊P(X).
La cosa speciale e' che ripetendo il procedimento si ottiene una "gerarchia, stratificazione, livelli, ..." complessita'.
ref: serve per capire:
Lo spazio funzionale X→Y e' isomorfo al prodotto cartesiano Y|X| .
f:X→Y applicazione parziale funzione parziale
lk: wpIT, wpEN, johndcook(da leggere)
Non confondere con Funzione sezione, applicazione parziale.
sottoapplicazione f:X→Y puo' non essere definita su tutto X.
Anche: relazione univoca di XinY.
avendo introdotto "parziale", quando si vuole precisare che e' definita su tutto X, diciamo "totale". E' coerente con la terminologia delle relazioni:
relazione totale := relazione definita per ogni elemento del primo insieme.
f⊆XxY: ∀x∊X ∃!(x,y)∈f
≡ al 1° elemento corrisponde il 2°
≡ il 2° elemento e' l'immagine del 1°
≡ il 1° va nel 2°
≡ uno ed un solo
≡ uno e non piu' di 1
≡ almeno uno e non piu' di 1
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|
| a | (a,1) | (a,2) | (a,3) | (a,4) |
| b | (b,1) | (b,2) | (b,3) | (b,4) |
| c | (c,1) | (c,2) | (c,3) | (c,4) |
ref:Prodotto cartesiano di 2 insiemi
| f1 = {(a,3), (b,2), (c,4)} | iniettiva |
| f2 = {(a,2), (b,3), (c,3)} | non iniettiva |
| f3 = {(a,3), (b,3), (c,3)} | costante al valore 3 |
| f4 = {(a,1), (b,1), (c,1)} | costante al valore 1 |
non applicazione |
|
| f5 = {(a,3), (c,4)} | ∃ element senza img |
| f6 = {(a,2), (b,3), (b,1), (c,1)} | ∃ element con piu' img |
guardare solo agli aspetti descrivibili in termini insiemistici.
Il vantaggio di questa visione e' di sganciarsi dal procedimento di calcolo che ha generato la funzione, e di studiare solo cio' che si puo' dire a tale livello di astrazione.
| ... | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 9 | (1,9) | (2,9) | (3,9) | (4,9) | (5,9) | (6,9) | (7,9) | (8,9) | (9,9) | |
| 8 | (1,8) | (2,8) | (3,8) | (4,8) | (5,8) | (6,8) | (7,8) | (8,8) | (9,8) | |
| 7 | (1,7) | (2,7) | (3,7) | (4,7) | (5,7) | (6,7) | (7,7) | (8,7) | (9,7) | |
| 6 | (1,6) | (2,6) | (3,6) | (4,6) | (5,6) | (6,6) | (7,6) | (8,6) | (9,6) | |
| 5 | (1,5) | (2,5) | (3,5) | (4,5) | (5,5) | (6,5) | (7,5) | (8,5) | (9,5) | |
| 4 | (1,4) | (2,4) | (3,4) | (4,4) | (5,4) | (6,4) | (7,4) | (8,4) | (9,4) | |
| 3 | (1,3) | (2,3) | (3,3) | (4,3) | (5,3) | (6,3) | (7,3) | (8,3) | (9,3) | |
| 2 | (1,2) | (2,2) | (3,2) | (4,2) | (5,2) | (6,2) | (7,2) | (8,2) | (9,2) | |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (3,1) | (4,1) | (5,1) | (6,1) | (7,1) | (8,1) | (9,1) | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ... |
definire una funzione f:X→Y selezionare una e una sola coppia ordinata sopra ogni punto del dominio (cioe' in ogni colonna).
Le due visioni sono compatibili, solo che si focalizzano su aspetti diversi:
Data una funzione computazionale, es f(x):= x2+3
il grafico della funzione e' definito da
{(x,y)∈XxY: y=f(x)}.
Il grafico, in insiemistica, e' la funzione stessa poiche' i ragionamenti insiemistici si basano solo sull'esistenza dell'insieme di coppie ordinate, e quindi è irrilevante il calcolo, non si usera' mai l'espressione analitica.
f:N→N n→2n iniettiva ma non suriettiva, formalmente (N,N,{n,2n})
se restringiamo il codominio ai nr pari otteniamo una funzione anche suriettiva, ma non e' piu' quella di prima poiche' formalmente e' (N,P,{n,2n}), anche se ci sembra la stessa funzione poiche per entrambe
n→2n ∀n∈N cioe' i grafici delle 2 funzioni sono uguali, ma i piani XxY che le contengono sono diversi.
una successione e' una funzione il cui dominio sono gli interi f:N→Y
non bisogna lasciarsi ingannare da come e' usualmente scritta, e' cmq una funzione;
|
una successione scritta nella notazione usuale di funzione
|
| Una successione finita e' una funzione f:(1, 2, ..., n)→Y | |
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si puo' identificare (e' in corrispondenza biunivoca) con un n-pla (a,b,c,...,u). |
In particolare una successione finita di 2 elementi a1, a2 f:(1,2)→Y si puo' identificare (e' in corrispondenza biunivoca) con la coppia ordinata (a1, a2) o (a,b).
ref: Somma e prodotto di funzioni, e altre op.
Spazio funzionale delle funzioni da un insieme ad un altro.
Teo: A function over a set may be identified with a directed graph
a function f:X→X is identified with the directed graph where
ref: Relazione binaria tra 2 insiemi; relazione binaria in un insieme.
dim: ogni elemento del dominio e' controimmagine di un elemento, poiche' per def ha un'immagine.
Elementi diversi hanno controimmagini diverse, altrimenti se fosse uguale, questo elemento avrebbe 2 img distinte, contrariamente alla def di funzione; quindi
gli insiemi controimmagini di 2 elementi distinti, non possono avere un elemento in comune, sono disgiunti.
ref: Compatibilita' di strutture, organizzazioni integrate.
A function is a relation such that for every x in X there exists a unique pair (x, y) in the relation.
una funzione f:X→Y, f:dom(f)→cod(f), e':
f:X→Y applicazione parziale funzione parziale