^^Operazioni punto a punto su funzioni e n-ple.

Definizione punto a punto. Pointwise definition.

f,g:X→(Y,+)

(f+g)(x) := f(x) + g(x)

la definizione non richiede nessuna struttura sul dominio !!!

e' sufficiente che l'operazione sia definita nel codominio
il dominio puo' essere un insieme puro, senza struttura, semplicemente fa la funzione di un insieme di indici.

In particolare (X,+)→(X,+) endofunzioni di un magma

Anello degli endomorfismi di un gruppo commutativo.

Somma e prodotto di n-ple, punto a punto, anche infinite

(a₁, a₂, ...) + (b₁, b₂, ...) = (a₁+b₁, a₂+b₂, ...)

(a_i) + (b_i) = (a_i+b_i) i∈I insieme degli indici

a_i, b_i ∈X_i (a_i), (b_i), (a_i+b_i) ∈∏X_i

nm:

somma punto a punto ≡ somma coordinate omonime.

opbin punto a punto ≡ opbin su coordinate omonime

La def di op su n-ple e' piu' generale che per le funzioni

poiche' gli spazi in ogni coordinata possono essere diversi, invece nel caso delle funzioni sono sempre lo stesso spazio.

ref: Lo spazio funzionale X→Y e' isomorfo al prodotto cartesiano Y^|X| .

L'associazione funzioni-nple si basa sul concepire le funzioni come n-ple, e l'operazione svolta sulle coordinate omonime.

Per una visione unificata-astratta

anche le successioni, le n-ple, e le coppie ordinate sono funzioni

a₁, a₂, ... , a_n, ... a(1), a(2), ... , a(n), ...	f:N→Y successione
a₁, a₂, ... , a_n a(1), a(2), ... , a(n)	f:(1, 2, ..., n)→Y n-pla
a₁, a₂ (a₁, a₂) a(1), a(2)	f:(1,2)→Y coppia ordinata

e quindi anche per loro vale la definizione di operazione "punto per punto", che in questo contesto si usa anche chiamare "operazione sulle coordinate omonime".

Operazione su ogni coordinata

sommare coppie = sommare elementi di coordinate omonime

(a₁,a₂)+(b₁,b₂) = (a₁+b₁, a₂+b₂)

analogamente si puo' fare per il prodotto

moltiplicare coppie = moltiplicare gli elementi di coordinate omonime

(a₁,a₂)*(b₁,b₂) = (a₁*b₁, a₂*b₂)

Proprieta'

se gli elementi sono di un corpo X, allora

il prodotto e' distributivo, ha elemento neutro (1,1), ma l'inverso di (a,0) o (0,a) non esiste, quindi X² non e' un corpo.

ref: Quaternions history.

Per le funzioni a valori reali si definisce

(-f)(x) = -f(x) funzione opposto

(1/f)(x)= 1/f(x) funzione reciproco se f(x)≠0 ∀x∈X

(f-g)(x)= f(x)-g(x) sottrazione di funzioni

(f*g)(x)= f(x)*g(x) funzione prodotto

(f/g)(x)= f(x)/g(x) funzione rapporto di 2 fun, se g(x)≠0 ∀x∈X

(fⁿ)(x) = (f(x))ⁿ funzione potenza, se definibile

Teo: le proprieta' del codominio si trasferiscono alle funzioni che vi arrivano

op nel codominio	op tra le funzioni
associativa	associativa
commutativa	commutativa
∃ unità u	∃ unità f:x→u funzione costante ad u
∃ inverso	∃ f^-1: x→(f(x))^-1

In totale: se il codominio e' un gruppo, lo spazio delle funzioni a valori in un gruppo, e' un gruppo.

Lo spazio delle funzioni a valori
1. in un gruppo 2. in un anello 3. in un corpo 4. in uno spazio vt	e' un gruppo e' un anello. non e' un corpo e' uno spazio vt

Lo spazio delle funzioni a valori

1. in un gruppo

2. in un anello

3. in un corpo

4. in uno spazio vt

e' un gruppo

e' un anello.

non e' un corpo

e' uno spazio vt

ecz: x3_p_x.ggb somma di funzioni

lo scopo e' osservare come la somma di funzioni dipende dalle funzioni addendo.

Per organizzare l'osservazione:

una funzione e' presa come base, qui x^3
viene variata sommando una funzione costante e una funzione retta passante per l'origine

tutte parametrizzate.

Il sipario si apre con gli addendi azzerati, tranne fun base, quindi la somma coincide colla fbase

muovere la funzione costante e riportarla a zero.
Osservare la differenza con la fbase.
muovere la fun retta. Osservare la differenza con la fbase.
muoverle entrambe
esplorare

Quanti sono gli zeri della funzione somma ?

nm: punto a punto; coordinata a coordinata; pointwise

wp/Pointwise

Links

esOf: Spazio funzionale delle funzioni da un insieme ad un altro.

Approfond

Ambiente, es e in generale:

es: 2 funzioni reali di variabile reale f,g:R→R

gen: 2 funzioni a valori in uno spazio con opbin: f,g:X→Y; il dominio puo' essere un insieme puro, senza operazioni.

Definizione punto a punto. Pointwise definition.

s=f+g s(x)=f(x)+g(x) ∀x∈X

f+g (f+g)(x)=f(x)+g(x) ∀x∈X lo dice senza introdurre il nome proprio della funzione somma

nm:

operazioni "definite punto per punto", "punto a punto", "punto per punto".

Talk

Titolo

Somma e prodotto di funzioni, e altre op.
ori.
Operazioni punto a punto sulle funzioni.
17-3-2022. Scelgo la forma breve, rispetto a
Operazioni punto a punto sulle funzioni, tra cui somma e prodotto
Operazioni punto a punto su funzioni e n-ple.
17-3-2022.

lo spazio delle funzioni a valori in un gruppo, e' un gruppo.
lo spazio delle funzioni a valori in un anello, e' un anello.
lo spazio delle funzioni a valori in un corpo, non e' un corpo.
lo spazio delle funzioni a valori in uno spazio vt, e' uno spazio vt.

Somma e prodotto di n-ple, anche infinite

(a₁,a₂,...,a_n) + (b₁,b₂,...,b_n) = (a₁+b₁, a₂+b₂, ..., a_n+b_n)

(a₁,a₂,...,a_n,...) + (b₁,b₂,...,b_n,...) = (a₁+b₁, a₂+b₂, ..., a_n+b_n, ...)