^^Operazioni punto a punto su funzioni e n-ple.
Operazioni negli spazi funzionali.

Definizione punto a punto. Pointwise definition.

f,g:X→(Y,+)  cioe'  f,g ∈ F(X→(Y,+))

(f+g)(x) :=  f(x) + g(x)

!!!  la definizione non richiede nessuna struttura sul dominio !!!

• e' sufficiente che l'operazione sia definita nel codominio
• il dominio puo' essere un insieme puro, senza struttura, semplicemente fa la funzione di un insieme di indici.

Esempi

(X,+)→(X,+)  endofunzioni di un magma, da cui si arriva a

Anello degli endomorfismi di un gruppo commutativo.

Somma e prodotto di n-ple, punto a punto, anche infinite.
≡ Operazione su ogni coordinata

sommare coppie = sommare elementi di coordinate omonime

(a₁,a₂) + (b₁,b₂) = (a₁+b₁, a₂+b₂)

(a₁, a₂, ...) + (b₁, b₂, ...) = (a₁+b₁, a₂+b₂, ...)

(a_i) + (b_i) = (a_i+b_i)    i∈I insieme degli indici 

                                 a_i, b_i ∈X_i   (a_i), (b_i), (a_i+b_i) ∈∏X_i

analogamente si puo' fare per il prodotto

moltiplicare coppie = moltiplicare gli elementi di coordinate omonime

(a₁,a₂)*(b₁,b₂) = (a₁*b₁, a₂*b₂)

nm:

somma punto a punto  ≡  somma coordinate omonime.

opbin punto a punto  ≡  opbin su coordinate omonime

La def di op su n-ple e' piu' generale che per le funzioni

poiche' gli spazi in ogni coordinata possono essere diversi, invece nel caso delle funzioni sono sempre lo stesso spazio.

ref: Lo spazio funzionale X→Y e' isomorfo al prodotto cartesiano Y^|X| .

L'associazione funzioni-nple si basa sul concepire le funzioni come n-ple, e l'operazione svolta sulle coordinate omonime.

Per una visione unificata-astratta

anche le successioni, le n-ple, e le coppie ordinate sono funzioni

e quindi anche per  loro vale la definizione di operazione "punto per punto", che in questo contesto si usa anche chiamare "operazione sulle coordinate omonime".

Per le funzioni a valori reali si definisce

(-f)(x)  = -f(x)         funzione opposto

(1/f)(x)= 1/f(x)       funzione reciproco  se f(x)≠0 ∀x∈X

(f-g)(x)= f(x)-g(x)   sottrazione di funzioni

(f*g)(x)= f(x)*g(x)  funzione prodotto

(f/g)(x)= f(x)/g(x)   funzione rapporto di 2 fun,  se g(x)≠0 ∀x∈X

(fⁿ)(x)  = (f(x))ⁿ       funzione potenza, se definibile

Proprieta' dell'operazione sulle n-ple

• Teo: molte proprieta' del codominio si trasferiscono alle funzioni che vi arrivano

In totale: se il codominio e' un gruppo, lo spazio delle funzioni a valori in un gruppo, e' un gruppo.

Dirlo alter

1. lo spazio delle funzioni a valori in un gruppo, e' un gruppo.
2. lo spazio delle funzioni a valori in un anello, e' un anello.
3. lo spazio delle funzioni a valori in un corpo, non e' un corpo.
4. lo spazio delle funzioni a valori in uno spazio vt, e' uno spazio vt.

Lo spazio delle funzioni a valori in un corpo, non e' un corpo.

es: nel prodotto cartesiano di un corpo K, es  KxK, con le operazioni definite punto a punto: il prodotto e' distributivo, ha elemento neutro (1,1), ma

• l'inverso di (a,0) o (0,a) non esiste !

quindi KxK non e' un corpo.

In generale non hanno inverso tutte le n-ple che contengono 1 zero, equi una b-pla e' invertibile solo se tutti i suol elementi sono ≠0.

ref: Quaternions history.

ecz: x3_p_x.ggb somma di funzioni

lo scopo e' osservare come la somma di funzioni dipende dalle funzioni addendo.

Per organizzare l'osservazione:

• una funzione e' presa come base, qui x^3
• viene variata sommando una funzione costante e una funzione retta passante per l'origine

tutte parametrizzate.

Il sipario si apre con gli addendi azzerati, tranne fun base, quindi la somma coincide colla fbase

• muovere la funzione costante e riportarla a zero.
  Osservare la differenza con la fbase.
• muovere la fun retta. Osservare la differenza con la fbase.
• muoverle entrambe
• esplorare

Quanti sono gli zeri della funzione somma ?

nm: punto a punto; coordinata a coordinata; pointwise

wp/Pointwise

Continua Spazio funzionale delle funzioni da un insieme ad un altro.

NdR la pagina riferita continua in questa, ho ritenuto che una sia il continuo dell'altra nel senso top-down bottom-up.
Od anche: la doppia visione sugli elementi (le funzioni) e sul complesso (lo spazio funzionale).

Approfond

Ambiente, es e in generale:

es:   2 funzioni reali di variabile reale f,g:R→R

gen: 2 funzioni a valori in uno spazio con opbin: f,g:X→Y; il dominio puo' essere un insieme puro, senza operazioni.

Definizione punto a punto.  Pointwise definition.

s=f+g  s(x)=f(x)+g(x)  ∀x∈X

f+g  (f+g)(x)=f(x)+g(x)  ∀x∈X   lo dice senza introdurre il nome proprio della funzione somma

nm:

operazioni "definite punto per punto", "punto a punto", "punto per punto".

Talk

Titolo

1. Somma e prodotto di funzioni, e altre op.
   cmt: originale.
2. Operazioni punto a punto sulle funzioni.
   17-3-2022. Scelgo la forma breve, rispetto a
   Operazioni punto a punto sulle funzioni, tra cui somma e prodotto
3. Operazioni punto a punto su funzioni e n-ple.
   17-3-2022.
4. Operazioni punto a punto su funzioni e n-ple.
   Operazioni negli spazi funzionali.
   2025-09-23  al titolo precedente ho aggiunto "Operazioni negli spazi funzionali." che per un lettore immerso sarebbe scontato, ma che per me ora in fase di immersione risulta utile: la doppia visione sugli elementi (le funzioni) e sul complesso (lo spazio funzionale).
   Il titolo e' oltre la lunghezza di standard 1 riga, credo valga la pena.

Somma e prodotto di n-ple, anche infinite

(a₁,a₂,...,a_n) + (b₁,b₂,...,b_n) = (a₁+b₁, a₂+b₂, ..., a_n+b_n)

(a₁,a₂,...,a_n,...) + (b₁,b₂,...,b_n,...) = (a₁+b₁, a₂+b₂, ..., a_n+b_n, ...)