^^Lo spazio funzionale X→Y e' isomorfo al prodotto cartesianoY|X|

Per ragionarci consideriamo una funzione tra insiemi finiti.

E' indifferente come sono chiamati gli elementi degli insiemi, quindi per comodita' usero' i numeri. Qui i nr quando appartenenti a insiemi diversi, sono da considerare elementi diversi.

 

X={1,2,3,4,5}  

Y={1,2,3}

 insieme di 5 elementi

insieme di 3 elementi

 

una f:X→Y e' un sottoinsieme di XxY

 

f=    { (1,3), (2,1), (3,2), (4,1), (5,2) } ⊆ XxY  e' una f:X→Y

 

cioč  (f(1)=3, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=1, f(5))=2

 

f= x 1 2 3 4 5
y 3 1 2 1 2
   e' la funzione scritta in forma tabella in riga

 

Si puo' leggere diversamente, come una n-pla:

(31, 12, 23, 14, 25)

 

invece di 5 coppie ordinate, 2 5-ple !!!

A ogni funzione corrisponde 1-1 la n-pla delle immagini

allo spazio di funzioni X→Y corrisponde 1-1
lo spazio cartesiano Yn, l'insieme delle n-ple delle img

 

Funzioni   n-ple
f= 1 2 3 4 5
1 2 3 1 2
 ↔ 
1 2 3 1 2
 ≡ 
(f(1),f(2),f(3),f(4),f(5))
     
YX ≡ X→Y  ↔ YxYxYxYxY ≡ Y5 ≡ Y|X|

 

detto in breve, si puo' concepire

YX ≡ X→Y   insieme delle funzioni di XinY
     in corrispondenza biunivoca con
Y|X|  prodotto cartesiano di Y con se stesso, con |X| fattori

ref: Somma e prodotto di funzioni, e altre op.

Teo:  |YX| = |Y||X|

dim: rem: |XxY|=|X|*|Y|, |XN|=|X|N . Per cui  |Y|X||= |Y||X|

es:

la schedina del calcio a 13 posti, con possibilita' 1X2 in ogni casella, puo' essere compilata in 313 modi.

Links

  1. Il nr di sottoinsiemi di N elementi e' 2^N.
  2. Le traslazioni dell'opbin.

 

Approfond

(f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)) ∈ Y1xY2xY3xY4xY5 ≡ YxYxYxYxY ≡ Y5

Talk

Studio espo

f= 1 2 3 4 5
1 2 3 1 2
 ↔ 
1 2 3 1 2
 ≡ 
(f(1),f(2),f(3),f(4),f(5))
         
YX ≡ X→Y   YxYxYxYxY

≡ Y5 ≡ Y|X|