^^Proprieta' distributiva (della moltiplicazione rispetto alla somma).

Def standard-"scheletrica".

Ambiente:

(X,+,*) per parlare di proprieta' distributiva, ci si deve trovare in un insieme dotato di 2 op bin, una somma e una moltiplicazione.

 

∀a,b,c ∈X     a*(b+c) = a*b + a*c    proprieta' distributiva sinistra
  (a+b)*c = a*c + b*c proprieta' distributiva destra

proprieta' distributiva è distributiva sia sinistra che destra

Scritto con * sottinteso

∀a,b,c ∈X     a(b+c) = ab + ac    proprieta' distributiva sinistra
  (a+b)c = ac + bc proprieta' distributiva destra

Dirlo

  1. l'operazione * è distributiva da sinistra rispetto all'operazione + 
  2. l'operazione * è distributiva da destra rispetto all'operazione +
  3. l'operazione * è distributiva rispetto all'operazione +
    se è distributiva da sinistra e da destra.

Se * è commutativa, allora le tre condizioni precedenti sono logicamente equivalenti.

rob: preferisco dire "distributiva DA sinistra", ma l'usuale e' "distributiva a sinistra". Dicendo "distributiva sinistra" si evita.

lg:

dida: nome

si sarebbe potuto denominare anche scambiando sx e dx, come per il lato su cui viaggiare per strada.

Un'ispezione su wikipedia mostra che la scelta dei matematici e' unificata.

it distributiva a sinistra distributiva a destra
es distributiva por la izquierda    distributiva por la derecha
fr distributivité à gauche distributivité à droite
en left-distributive right-distributive
de linksdistributiv rechtsdistributiv
rob distributiva da sinistra

distributiva sinistra

distributiva sulla destra

 distributiva da destra

distributiva destra

distributiva sulla sinistra

Def "abbondante" (di Roberto Occa), o
teo a partire dalla def standard-"scheletrica".

 

(a+b+c)(d+e+f+g),  in generale  (a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bm),

hanno gli addendi che si possono costruire con Tabella di combinazione

      d     e     f     g
a   (a,d) (a,e) (a,f) (a,g)
b (b,d) (b,e) (b,f) (b,g)
c (c,d) (c,e) (c,f) (c,g)
    d   e   f   g
a   ad ae af ag
b bd be bf bg
c cd ce cf cg
   
      b1     b2     ...     bm
a1   (a1,b1) (a1,b2)   (a1,bm)
a2 (a2,b1) (a2,b2)   (a2,bm)
...        
an (an,b1) (an,b2)   (an,bm)
      b1     b2     ...     bm
a1   a1b1 a1b2   a1bm
a2 a2b1 a2b2   a2bm
...        
an anb1 anb2   anbm

 

dim: ∀ a,b,c, ... ∈X

(a+b+c)(d+e+f+g) =  

per distributiva sinistra

(a+b+c)d +

(a+b+c)e +

(a+b+c)f +

(a+b+c)g

= per distr dx

ad+bd+cd +

ae+be+ce +

af+bf+cf   +

ag+bg+cg

 per distributiva destra

a(d+e+f+g) +

b(d+e+f+g) +

c(d+e+f+g)

 

= per distr sx

 

ad+ae+af+ag+

bd+be+bf+bg+

cd+ce+cf+cg

l'ordine degli addendi e' diverso, ma il risultato della somma e' uguale.

 

Il prodotto delle somme e' = alla somma dei prodotti

∏ ∑

  =   ∑ ∏

prodotto  
di somme  

  =     somma
  di prodotti
         

(a+b)(c+d)

  =   ac+ad+bc+bd  

(a+b)(c+d+e)

  =   ac+ad+ae +
bc+bd+be   

(a+b+c)(d+e+f+g)

   =   ad+ae+af+ag+

bd+be+bf+bg+

cd+ce+cf+cg

(a+b)(c+d+e)(f+g+h+i)

   =    ...

 

Recita per scuola media

k(a + b + ... + z)  =  ka + kb + ... + kz

Il moltiplicato della somma e' = alla somma dei moltiplicati, viceversa

la somma dei moltiplicati e' = al moltiplicato della somma.

 

Storia

1814 wp/Francois-Joseph_Servois introduce i termini  "proprietà distributiva" e "proprietà commutativa".

1844 Hamilton, William Rowan Sir (1805-1865) introduce "proprietà associativa".

Esempi di applicazione

  1. Media aritmetica; teoremi.
  2. Vettori; prodotto scalare di 2 vettori.
  3. Differenziale del prodotto per una costante D(k*x) = k*Dx.
  4. Resistenza della serie, conduttanza del parallelo. Dimostrazione.
  5. Media quadratica, cubica, della potenza; valore quadratico medio.

Links

  1. Come elencare gli addendi della distribuzione?
  1. Rpr geometrica.
  2. La proprieta' distributiva equivale a "Il prodotto e' un'applicazione bilineare".
  3. Proprieta' distributiva-RACCOGLITIVA.

Dida: Scheletrico vs abbondante.

Per la proprieta' distributiva vale un discorso analogo a quella associativa e commutativa: presentazione standard-"scheletrica" e insolita-"abbondante"

 

 

 

 

Talk

Titolo

Proprieta' distributiva del prodotto rispetto alla somma.

 

dim:

(a+b+c)(d+e+f+g) =   per distributiva destra

a(d+e+f+g) + b(d+e+f+g) + c(d+e+f+g) = per distr sx

(a,d)+(a,e)+(a,f)+(a,g)+

(b,d)+(b,e)+(b,f)+(b,g)+

(c,d)+(c,e)+(c,f)+(c,g)

 

Prove espo

Simbolic:

∏ ∑

  =   ∑ ∏  
Il prodotto delle somme e'   =   alla somma dei prodotti  
           

(a+b)(c+d)

  =   ac+ad+bc+bd ∀ a,b,c,d ∈X     
           

(a+b)(c+d+e)

  =   ac+ad+ae+

bc+bd+be

 ∀ a,b,c,d,e ∈X     

 

 

∏ ∑

  =   ∑ ∏  
           
Il prodotto delle somme e'   =   alla somma dei prodotti  
           

(a+b)(c+d)

  =   ac+ad+bc+bd ∀ a,b,c,d ∈X     
           

(a+b)(c+d+e)

  =   ac+ad+ae+

bc+bd+be

 ∀ a,b,c,d,e ∈X     
           

(a+b)(c+d+e)(f+g+h+i)

   =     ∀ a,b,c, ... ∈X     

 

 

∏ ∑

  =   ∑ ∏  
Il prodotto delle somme e'   =   alla somma dei prodotti  
           

(a+b)(c+d)

  =   ac+ad+bc+bd ∀ a,b,c,d ∈X     

(a+b)(c+d+e)

  =   ac+ad+ae+

bc+bd+be

 ∀ a,b,c,d,e ∈X     

(a+b)(c+d+e)(f+g+h+i)

   =    ... ∀ a,b,c, ... ∈X