^^Proprieta' commutativa

2 elementi commutano

   ab = ba

Proprieta' commutativa in un magma

∀a,b∈X     ab = ba

e piu' in generale: per un numero qualsivoglia di operandi e comunque li si commuti il valore calcolato e' uguale.

Proprieta' (conseguenza di teoremi)

In un magma

  1. l'unita' commuta con tutti gli elementi.
  2. Un elemento commuta col proprio inverso

In un semigruppo

  1. Se un elemento commuta con un altro, commuta con l'inverso.
  2. Se 2 elementi commutano, commutano i loro inversi. >>>
  3. Se un elemento commuta con 2, commuta col loro prodotto.

Teo: Se un elemento commuta con 2, commuta col loro prodotto; in un semigruppo

se 2 elementi commutano con un altro, commuta con esso anche il loro prodotto.

dim: ip: xa=ax  ya=ay   

(xy)a = x(ya) = x(ay) = (xa)y = (ax)y =a(xy)

(yx)a = y(xa) = y(ax) = (ya)x = (ay)x =a(yx)

 

"Commutano n elementi", che significa? Commutazione di N elementi.

In prima battuta viene da dire che tutte le permutazioni forniscano lo stesso risultato

abc = acb = bac = bca = cab = cba

pero' bisogna ricordarsi che se non vale la proprieta' associativa ognuno di queste espressioni figlia 2 espressioni finali

abc → (ab)c  a(bc)

Se intendiamo cosi' la proprieta' commutativa per piu' elementi, allora contiene in se' la proprieta' associativa. La scelta espositiva standard e' che non si definisce la commutazione di N elementi, ma si considera cosa succede per la composizione di N elementi in un semigruppo commutativo.

Composizione di N elementi in un semigruppo commutativo

Cioe' la composizione di N elementi ordinati data da un'operazione binaria associativa e commutativa.

Si puo' parlare di composizione di un insieme di elementi, poiche' il risultato e' lo stesso cmq li si componga in associazione e ordine. L'aspetto visivo dell'espressione e' che si puo' scrivere il prodotto senza parentesi e senza badare all'ordine.

                  abc        sta per una qualsiasi di queste epressioni:

(ab)c = (ac)b = (ba)c = (bc)a = (ca)b = (cb)a

a(bc) = a(cb) = b(ac) = b(ca) = c(ab) = c(ba)

 

Proprieta' commutativa in un magma 30/12/92

∀a,b∈X     ab = ba

e piu' in generale: per un numero qualsivoglia di operandi e comunque li si commuti il valore calcolato e' uguale.

Rpr disegno elettrico:

+++B1++++++B2+++     B1cB2
+++B2++++++B1+++     B2cB1
fissando l'astratto in un concreto di 2 pile di diverso voltaggio in serie concorde, si capisce, che "=" usato sopra e' non nel senso dell'uguaglianza strutturale, ma nel senso dell'equivalenza.

 

 

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Proprieta' commutativa in un magma 30/12/92 (tenuta per motivi storici del librosito)

∀a,b∈X     ab = ba

e piu' in generale: per un numero qualsivoglia di operandi e comunque li si commuti il valore calcolato e' uguale.