^^Omomorfismo. Isomorfismo. Applicazione lineare, additiva, moltiplicativa.

Omomorfismo    applicazione lineare    funzione additiva

1. (=def) e' quasi un isomorfismo, nel senso che non si richiede che la corrispondenza sia biunivoca
2. equi: f(x+y) = f(x) + f(y)    una funzione additiva tra 2 magmi.

Aspetti di omomorfismo:

• l'omomorfismo e' una funzione, quindi fa corrispondere gli elementi dei 2 insiemi
• oltre che far corrispondere gli elementi, come fa qualsiasi funzione, fa corrispondere le operazioni.

Nomenclatura moltiplicativa

f(x*y) = f(x)*f(y)   funzione moltiplicativa (dicesi)

Il senso dell'omomorfismo. Dall'oggetto all'ombra e dall'ombra all'oggetto.

Per dare il senso usiamo un paragone classico: quello delle ombre: l'ombra-proiezione dell'oggetto fornisce alcune indicazioni dell'oggetto, ma non tutte, e possiede una sua regola.

L'omomorfismo proietta alcuni aspetti della struttura algebrica del dominio sul range.

Questa relazione puo' essere usata nei 2 versi: desumere aspetti dell'uno a partire da aspetti dell'altro. Dall'oggetto all'ombra e dall'ombra all'oggetto.

Teo: la composizione di omomorfismi e' un omomorfismo.
Cor: la composizione di endomorfismi e' un endomorfismo.

la composizione di funzioni additive e' additiva

f:(U,+)→(V,+)    g:(V,+)→(W,+)

fg:(U,+)→(W,+)    [fg](u):= f(g(u)) 

dim:

[fg](a+b)= f(g(a+b)) = f(g(a)+g(b)) = f(g(a)) + f(g(b)) = [fg](a) + [fg](b)

Esempi

Determinante di una matrice

det(AB)=det(A)*det(B)

Il grado di un polinomio.

Il grado del prodotto e' uguale alla somma dei gradi degli operandi.

Il grado di un polinomio puo' essere inteso come una funzione dall'insieme dei polinomi  all'insieme Z⁺. E' additiva dal prodotto di polinomi alla somma di interi.

La regola dei segni della moltiplicazione >>>

Teo: in un Omomorfismo tra magmi
        immagine di un gruppo e' un gruppo.
        in un Omomorfismo tra gruppi
        immagine e controimmagine  di un gruppo e' un gruppo.

Raffiniamo il  teorema scorporando i vari aspetti.

Si ragiona su ogni proprieta'

1. l'mmagine di una terna associata e' associativa
2. unità va nell'unità
3. elementi inversi vanno in elementi inversi

Unità in unità.

dim:

f:X→Y

∀y∈f(X) ∃x∈X: f(x)=y  ovvio: qualsiasi elemento di f(X) puo' scriversi f(x)

th: f(u) e' unita', cioe'  f(x)f(u)=f(x)   ∀f(x)

f(x)f(u) 

= f(xu)   linearita'

= f(x)      xu=x   u unita' di X

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Paragone, analogia, metafora, modello, iso-morfismo.

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Titolo

1. Omomorfismo. Isomorfismo. Applicazione lineare.
   c: ori
2. Omomorfismo. Isomorfismo. Applicazione lineare, additiva, moltiplicativa.
   c: 21-4-2020. Leggendo Timothy Gowers ho visto che chiamava "multiplicativity property" f(xy)=f(x)f(y), e dato che usavo "funzione additiva", ho aggiunto.

Da cancellare dopo salvazioone

Lg

tra magmi:  funzione additiva  ≡  omomorfismo  ≡  funzione lineare .

In uno spazio lineare:

• additiva ≠ lineare, poiche' serve anche omogenea
• additiva+omogena = lineare

Teo: gli endomorfismi di un gruppo commutativo sono un gruppo commutativo (rispetto alla somma punto a punto).

dim: da operazioni punto a punto su funzioni e n-ple, le endofun di un gruppo commutativo sono un gruppo commutativo.

Rimane da dimostrare che

LF(U→U) il sottoinsieme degli endomorfismi e' un sottogruppo.

ref: Operazioni punto a punto su funzioni e n-ple.

Invece di considerare tutto lo spfun

( F(U→(V,+)), +_p)   con la somma punto-punto,

nel caso U≡(U,+)     il dominio e' dotato di opbin, in

F( (U,+)→(V,+) )     consideriamo il sottospazio

LF( (U,+)→(V,+) )   delle funzioni additive

f:(U,+)→(V,+)  f(x+y) = f(x)+f(y)

Teo:

f(x):= 0  la funzione costante a zero e' additiva

(-f)(x):= -f(x)   e' l'opposta di f(x),  se ∃ l'opposto di ogni f(x)

Teo: la somma di 2 funzioni additive e' additiva,
        se a valori in un semigruppo commutativo

dim:  f,g:(U,+)→(V,+) 

   (f+g)(x+y)

= f(x+y) + g(x+y)                    def somma di funzioni

= ( f(x)+f(y) ) + ( g(x)+g(y) )   def f e g additive

= f(x)+g(x) + f(y)+g(y)            somma codominio associativa commutativa

= (f+g)(x) + (f+g)(y)               def somma di funzioni

Corollario

1. la somma di 2 endomorfismi di un semigruppo commutativo e' un endomorfismo
2. gli endomorfismi di un semigruppo commutativo sono un semigruppo commutativo
3. gli endomorfismi di un gruppo commutativo sono un gruppo commutativo (rispetto alla somma punto a punto)

Uso

Spazio vettoriale delle funzioni lineari tra 2 spazi vettoriali.