^^Spazio vettoriale delle funzioni lineari tra 2 spazi vettoriali.

Teo: spvt d fun lin tra 2 spvt   LF(U→V)

dim: F(U→V) e' spvt, rem: Operazioni punto a punto sulle funzioni.

rimane da dimostrare che

LF(U→V) il sottoinsieme delle fun lin e' un sotspvt.

rem: ⇔ e' chiuso rispetto alle op, e ∃ inverso additivo.

Teo: l'opposto di una fun lin e' lin

dim: sia g(x)=-f(x) e' l'opposta di f(x)

g(x+y) = -f(x+y) = -( f(x)+f(y) ) = -f(x) -f(y) = g(x)+g(y)

g(kx) = -f(kx) = -(kf(x)) = k(-f(x)) ) kg(x)

Teo: la somma di 2 funzioni lineari e' lineare

dim: 1) la somma di 2 fun additive e' additiva, se a valori in un semigruppo commutativo. Teo: gli endomorfismi di un gruppo commutativo sono un anello.

2) la somma di 2 funzioni omogenee e' omogenea.

Teo: la somma di 2 funzioni omogenee e' omogenea

dim:

(f+g)(kx)

f(kx) + g(kx)         def somma di funzioni

kf(x) + kg(x)         def f e g omogenee

k( f(x)+g(x) )        proprieta' prodotto esterno

k(f+g)(x)              def somma di funzioni

Links

esOf: Spazio funzionale delle funzioni da un insieme ad un altro.

Algebra degli endomorfismi su uno spazio vettoriale >>>

1. GL(V) general linear group on V
   • the group of linear automorphisms on vector space V
2. GL(Rⁿ) General Linear group of Rⁿ  GL(n,R)  GL_n(R)
   • the group of linear automorphisms on vector space Rⁿ
3. SL(Rⁿ) Special Linear group of Rⁿ    SL(n,R)  SL_n(R)
   • The subgroup of trasformations with determinant 1
4. U(n) unitary group of degree n 
   • the Lie group of n × n unitary matrices
5. SU(n) special unitary group of degree n   wp
   • the Lie group of n × n unitary matrices with determinant 1
   • SU(n) ⊆ U(n) ⊆ GL(ℂⁿ)
   • SU(n) groups find wide application in the Standard Model of particle physics, especially
6. SU(2) in the electroweak interaction
7. SU(3) in quantum chromodynamics
8. O(n) orthogonal group of degree n 
   • the group of n × n orthogonal matrices
9. SO(n) special orthogonal group of degree n 
   • the group of n × n orthogonal matrices with determinant 1
   • SO(n) ⊆ O(n) ⊆ GL(ℝⁿ)
10. SO(2) rotations around a point on ℝ²  wp
11. SO(3) rotations around a line on ℝ³  wp

orthogonal matrix    a real matrix whose inverse equals its transpose

                              distance-preserving transformation on ℝⁿ

matrice unitaria   matrice quadrata complessa
                          inversa = trasposta-coniugata

wp/Unitary_matrix

Unitary matrices have significant importance in quantum mechanics because they preserve norms, and thus, probability amplitudes.

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Titolo

1. Spazio delle funzioni lineari tra 2 spazi vettoriali
   c: ori. nm_file: sp_fun_lin
2. Spazio vettoriale delle funzioni lineari tra 2 spazi vettoriali
   c: 16-3-2022. nm_file: spvt_fun_lin.
   Abbreviazione spazio vettoriale  sp_vt   spvt

Forma tb