^^Legge additiva; schema astratto matematico. Funzione additiva.

Funzione additiva (def)

f(a + b) = f(a) + f(b)

l'immagine della somma e' uguale alla somma delle immagini.

a	→	a' = f(a)
b	→	b' = f(b)
a + b	→	a' + b'

alla somma degli operandi corrisponde la somma delle immagini

Il 1° enunciato evidenzia come mai la funzione viene chiamata additiva.
Il 2° enunciato evidenzia il corrispondersi delle operazioni.

f(a + b) = f(a) + f(b)

e' il modo piu' breve di scrivere la definizione, e quindi si e' affermato. Spesso e' anche il piu' comodo per le dim.

a	→	a' = f(a)
b	→	b' = f(b)
a + b	→	a' + b'

questo fatto viene interpretato come il corrispondersi delle operazioni, poiche' si corrispondono i risultati degli operandi corrispondenti. Alter: se si corrispondono gli operandi, allora si corrispondono i risultati.

Nota: e' lo stesso argomento di Omomorfismo. Isomorfismo.

Casi concreti; descrizione concreta.

X magma	Y magma	funz
segmenti nel piano	segmenti su una retta	proiezione
classe di sistemi	num reali	misura

Legge additiva per la misura del sistema composto.

Approfond

Ambient-e/azione piu' generale:

X, Y magmi. Esprimendo opbin: (X,+) (Y,+)
f: X→Y funzione da X in Y
f(x) indica l'elemento immagine-corrispondente a elemento x

ref: Omomorfismo. Applicazione lineare, additiva, moltiplicativa.

lg: Additivita' (=def) f(a+b) = f(a) + f(b)

additivita' = proprieta' di additivita' = proprieta' additiva.

Di solito l'additivita' d funzione f viene indicata: f(x+y)=f(x)+f(y)
Se si parla anche delle variabili che si corrispondono tramite la funzione f, di solito le si indica x e y, quindi le 2 espressioni usuali diventano conflittuali, poiche' i 2 simboli x y hanno significati diversi:
- variabili che si corrispondono f(x)=y
- i valori variabili di una variabile. f(x+y)

L'argomento "additività" in concreto, in astratto

L'argomento si puo' affrontare a diversi livelli di astrazione. ref: Dilemmi espositivi.

Astratto: astratto matematico, misura astratta di una generica grandezza.
Concreto: misura concreta di una fissata grandezza.

Links

wp/Additive_map

wp/Cauchy's_additive_functional_equation

f(a + b) = f(a) + f(b) intesa come equazione funzionale

f(x)= kx le funzioni lineari sono soluzione.

Per f:R→R funzioni reali di variabile reale, esistono infinite altre soluzioni (assumendo l'assioma della scelta) .

Se richiediamo f continua, le soluzioni sono solo le fun lin.

Talk

Residenza

E' in ix Algebra, esterna a Gruppo e Anello, poiche' puo' riferirsi ad entrambi.

Si potrebbe pero' anche porsi in ix Funzione, applicazione, funzionale, operatore.

Alter espo

Funzione additiva (def) f(a+b) = f(a) + f(b)

A parole : l'immagine della somma e' uguale alla somma delle immagini.

Ridetto diversamente:

a	→	a' = f(a)
b	→	b' = f(b)
a+b	→	a'+b'

Il 1° enunciato evidenzia come mai la funzione viene chiamata additiva.

Il 2° enunciato evidenzia il corrispondersi delle operazioni.

Alter espo

Una funzione e' additiva , e' un omomorfismo, e' lineare
(def)

Ambient-e/azione:

X, Y magmi. Esprimendo opbin: (X,+) (Y,+)
f:X->Y una funzione che associa a ogni elemento x di X un elemento y di Y
f(x) indica l'elemento immagine-corrispondente a elemento x

Proprieta' di additivita'

po x1,x2 ap X
    se     x1 ->  y1=f(x1)
     e     x2 ->  y2=f(x2)
    =>  x1+x2 ->  y1+y2 = f(x1)+f(x2)

questo fatto viene interpretato come il corrispondersi delle operazioni, poiche' si corrispondono i risultati.

Una volta capito il significato della proprieta', per fare presto, si salta il preambolo e il modo spiccio di scrivere la proprieta' e':
in simboli: f(x1+x2) = f(x1) + f(x2)
a parole : l'immagine della somma e' uguale alla somma delle immagini

Il 1° enunciato fa capire esprime bene l'aspetto di omomorfismo:

l'omomorfismo e' una funzione, quindi fa corrispondere gli elementi dei 2 insiemi
oltre che far corrispondere gli elementi, come fa qualsiasi funzione, fa corrispondere le operazioni.

Il 2° enunciato, che e' matematicamente equivalente al 1°, evidenzia invece come mai la funzione viene chiamata additiva.

Museo solo testo

Casi concreti; descrizione concreta.

X semigruppo             + Y semigruppo    + funz       
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
classe di sistemi        + num reali       + misura
classe segmenti          + classe segmenti + proiezione