^^Serie geometrica. Soluzione.

Diario

A seguito della serie 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ,

si e' considerata la scomposizione di un segmento in un segmento
generalizzando : la scomposizione di una figura in figure
in particolare : di un cubo in 8 cubi (poiche' era un discorso fresco)
al che ho associato : il quadrato di 4 quadrati
generalizzato alle : figure autosimili
ed a quel punto, per paragone : ho riconosciuto come autosimile anche la suddivisione del segmento in 2.
Ho anche considerato : Rileggendo, il quadrato di 4 quadrati come 1 quadrato di area 1/4, e il resto 3/4.

 

Cio' mi ha aiutato a sviluppare una visione completamente algebrica della somma infinita di potenze, staccata dalla sua genesi geometrica, come partizione dell'unita' ripetuta su una delle parti.

Scomposizione dell'area del quadrato in 4 quadrati

3/4 = 1 - 1/4
3/4 + (3/4)(1/4) = 1 - (1/4)2
3/4 + (3/4)(1/4) + (3/4)(1/4)2 = 1 - (1/4)3
3/4 + (3/4)(1/4) + (3/4)(1/4)2 + (3/4)(1/4)3 = 1 - (1/4)4
3/4 (1 + 1/4 + (1/4)2 + (1/4)3) = 1 - (1/4)4
detto q = 1/4  
(1-q)(1 + q + q2 + q3) = 1 - q4
1 + q + q2 + q3
  1-q4
=
 

1-q

1 + q + q2 + q3     n=3
  1-qn+1
=
 

1-q

I primi passi visti diversamente

3/4 + 1/4 = 1
3/4 + (3/4)(1/4) + (1/4)(1/4) = 1
3/4 + (3/4)(1/4) + (3/4)(1/4)2 + (1/4)(1/4)2 = 1
3/4 + (3/4)(1/4) + (3/4)(1/4)2 + (3/4)(1/4)3 + (1/4)(1/4)3 = 1
3/4 (1 + 1/4 + (1/4)2 + (1/4)3) = 1 - (1/4)4

Scomposizione area del cerchio in spicchi

Anche il cerchio e' uno spicchio!

Si puo' fissare un numero qualsivoglia di spicchi. Facciamo 3

diario:

(fine 2009, regalo di Natale) Ho dato risposta a 2 quesiti che mi hanno accompagnato per decenni.

Dimostrazione algebrica standard

  1-q   1-qn+1
1 + q + q2 + q3 + qn =
(1 + q + q2 + q3 + qn)=
 

1-q

 

1-q

dato che si formano coppie di opposti q-q, q2-q2, ecc ... I soli addendi che non si elidono sono 1 e -qn+1.

 

S=

    1 +q +q +q +q⁴  
-qS=     -q -q -q -q⁴ -q⁵

S-qS = 1-q⁵

S(1-q) = 1-q⁵

S = (1-q⁵)/(1-q)

 

Somma d serie geometrica come Prodotto notevole

a⁵-b⁵ =  (a-b)(a⁴+ab+ab+ab+b⁴) =

Posto a=1, b=q

1-q⁵ =  (1-q)(1+q+q+q+q⁴)

1-qⁿ⁺ = (1-q)(1 + q + q + q +...+ qⁿ )

Diario

me ne sono reso conto solo 19-feb-2021.

Guida ins

Titolo

Calcolo della somma della serie geometrica.