^^Sottoinsiemi invarianti di una endofunzione.

Sottoinsiemi invarianti rispetto ad un'endofunzione

f:X→X   f e' un'endofunzione

sottoinsieme invariante nella endofunzione

f(A)⊆A  la sua immagine e' contenuta nell'insieme di partenza 

es: Laterale di un sottogruppo. Coset.

Casi particolari

1. Rispetto all'Identita', tutti i sottoinsiemi sono invarianti.
2. Un sottoinsieme invariante fatto di 1 solo punto, e' detto Punto fisso della endofunzione.

Successioni generate da una endofunzione.
Potenze di una endofunzione.

a_n+1 = f(a_n)   dato a₀ elemento iniziale

riapplicare la funzione al suo risultato
a  f(a)  f(f(a))  f(f(f(a)))  ...
a  f(a)   f²(a)     f³(a)      ...  fⁿ(a)  ...

Teo: il range della successione e' un insieme invariante dell'endofunzione che la genera

ed e' invariante sotto l'azione di ognuna delle sue potenze.

es: Per ragionarci consideriamo una endofunzione su un insieme finito

sia

1. X={1,2,3,4,5}    un insieme di 5 elementi
2. f={ (1,1), (2,2), (3,3), (4,1), (5,2) }   una f:X→X

Es successioni che partono da ogni punto dello spazio

1→2→3→1→ ...  {1,2,3}

2→3→1→2→ ...   idem

3→1→2→3→ ...   idem

4→1→2→3→1→ ...   {4,1,2,3}

5→2→3→1→2→ ...   {5,1,2,3}

Per pensare alla situazione conviene pensare alla funzione come grafo orientato >>>.

Comportamento delle successioni

2 casi:

1. la successione ritorna ad un elemento gia' presentato
   ⇒ deve ripetere anche i valori seguenti, entra in un ciclo infinito, cioe' da li' in avanti diventa ciclica
2. la successione non si ripete mai
   ⇒ l'endofunzione ha dominio infinito
   es: ℕ→ℕ  n→n+m

Teo: se l'insieme e' finito, la successione non puo' proseguire all'∞ senza ripetersi, quindi si ripete, e si distinguono 2 casi:

1. ritorna al 1° elemento
   la f ristretta alla successione e' iniettiva
2. non torna al 1° elemento

   la funzione non e' iniettiva, poiche' allo stesso elemento arriva da 2 elementi.

   Caso particolare: l'ultimo elemento elemento della successione e' l'immagine di se', cioe' e' un elemento fisso della funzione; le sue controimmagini sono se' e almeno chi lo precede nella successione.

Teo: la funzione e' iniettiva

⇔ tutte le successioni tornano al 1° elemento.
⇔ tutte non hanno elementi comuni
⇔ sono una partizione dell'insieme.

Teo: i range di tutte le successioni sono una copertura dell'insieme.

Unendo i range delle successioni con elementi comuni, si ottiene una partizione dell'insieme, fatta di sottoinsiemi invarianti.

Links

1. Punto fisso di una endofunzione.
2. Gruppo algebrico.
3. Symmetric group. Gruppo delle permutazioni.
4. Le traslazioni dell'opbin.

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Approfond

Dirlo

1. successione dei discendenti di un elemento, secondo f
2. successione delle img successive di un elemento tramite la funzione, riapplicandola

Es successione generata in X⁵

1→2→3→1→2→ ...

2→3→1→2→3→ ...

3→1→2→3→1→ ...

4→1→2→3→1→ ...

5→2→3→1→2→ ...

          |←←←|

f:X→X      genera  una successione in  X^|X|

a0 = (1,2,3,4,5)

a_n+1 = ( f(a_n,1), f(a_n,2), f(a_n,3), f(a_n,4), f(a_n,5) )

Endofunzione generata in  X^|X|

volendo invece di una sola successione, si potrebbe estendere a endofunzione su tutto lo spazio   X^|X|

f:X→X      genera  una endofunzione in  X^|X|

f:X^|X|→X^|X|  (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ ) →  ( f(a₁), f(a₂), f(a₃), f(a₄), f(a₅) )