Gli stessi concetti possono essere espressi in notazione additiva o moltiplicativa.
f: XxY→Z applicazione operazione binaria
f: axY→Z sezione sx sull'elemento a∈X
y→a+y | Left-traslation a | , traslazione-addizione sx generata da a | |
y→ay | Left-multiplication a | , moltiplicaz sx generata da a |
La:Y→Z y→La(y)=f(a,y)
f: Xxb→Z sezione dx sull'elemento b∈Y
x→x+b | Right-traslation b | , traslazione dx generata da b | |
x→xb | Right-multiplication b | , moltiplicaz dx generata da b |
Rb:X→Z x→Rb(x)=f(x,b)
nel caso di Operazione binaria interna. f:XxX→X
notaz +: addizioni o traslazioni
notaz *: moltiplicazioni
Es: la fissata coppia (7,5) da' luogo a 2 trasformazioni di X:
x → 7+x f(7,)(x) = f(7,x) = 7+x
x → x+5 f(,5)(x) = f(x,5) = x+5
In generale
La:X→X x → a+x Left-traslation a, traslazione sx generata da a
Ra:X→X x → x+a Right-traslation a, traslazione dx generata da a
Le traslazioni dell'opbin
dim: fa e f-a sono una l'inversa dell'altra.
Teo: le traslazioni di un gruppo sono isomorfe al gruppo, secondo l'applicazione che associa ad un elemento la sua traslazione.
Lo stesso simbolo e' sia uno stato che una trasformazione !!!
Possiamo concettualizzare dicendo:
una trasformazione dell'insieme trova una rappresentazione naturale all'interno dell'insieme tramite un suo elemento, invece che essere ospitata in uno spazio funzionale esterno all'insieme.
Se accanto al gruppo G, considerato semplicemente come insieme,
ogni traslazione e' rappresentata in modo isomorfo dall'elemento che la genera tramite l'operazione binaria. Tale elemento e' l'immagine dell'unita' tramite la traslazione, t=ft(u) .
dim: Non sono omomorfismi. Se fosse fa(x+y) =fa(x)+fa(y) cioe'
(x+y)+a = (x+a)+(y+a) def traslazione e omomorfismo
x+y = x+a+y associativa, e semplificaz a a dx
x = x+a semplif y-dx
0 = a semplif x-sx
solo l'identita' e' traslazione omomorfismo
dim stringata: Se fosse a(xy)=(ax)(ay) da cui xy = xay da cui u=a.
L'operazione binaria e le sue applicazioni parziali sono logicamente equivalenti, ma aprono a prospettive diverse:
Esprimere i fatti in termini delle traslazioni porta ad una visione geometrica.
Cmq questo qui detto e' il dualismo algebra-geometria.
a → fa : x → ax
b → fb : x → bx
ba → fba : x → (ba)x =b(ax) se vale la proprieta' associativa.
Ci puo' essere' di mezzo un'inversione dell'ordine dei termini, a seconda di come definisco l'opbin di composiz di applicaz. Quindi ad essere precisi e' isomorfo all'opbin simmetrica. Se l'opbin e' commutativa questa complicazione non c'e'.
L'essenza e' che opbin sia associativa.