^^Teo: gli endomorfismi di un gruppo commutativo sono un gruppo commutativo (rispetto alla somma punto a punto).

Lg

tra magmi: funzione additiva ≡ omomorfismo ≡ funzione lineare .

In uno spazio lineare:

dim: da operazioni punto a punto su funzioni e n-ple, le endofun di un gruppo commutativo sono un gruppo commutativo.

Rimane da dimostrare che

LF(U→U) il sottoinsieme degli endomorfismi e' un sottogruppo.

Invece di considerare tutto lo spfun

( F(U→(V,+)), +_p) con la somma punto-punto,

nel caso U≡(U,+) il dominio e' dotato di opbin, in

F( (U,+)→(V,+) ) consideriamo il sottospazio

LF( (U,+)→(V,+) ) delle funzioni additive

f:(U,+)→(V,+) f(x+y) = f(x)+f(y)

f(x):= 0 la funzione costante a zero e' additiva

(-f)(x):= -f(x) e' l'opposta di f(x), se ∃ l'opposto di ogni f(x)

dim: f,g:(U,+)→(V,+)

(f+g)(x+y)

= f(x+y) + g(x+y) def somma di funzioni

= ( f(x)+f(y) ) + ( g(x)+g(y) ) def f e g additive

= f(x)+g(x) + f(y)+g(y) somma codominio associativa commutativa

= (f+g)(x) + (f+g)(y) def somma di funzioni

la somma di 2 endomorfismi di un semigruppo commutativo e' un endomorfismo
gli endomorfismi di un semigruppo commutativo sono un semigruppo commutativo
gli endomorfismi di un gruppo commutativo sono un gruppo commutativo (rispetto alla somma punto a punto)