^^Funzione lineare tra 2 spazi vettoriali.

D: perche' spazi lineari "sullo stesso campo" ?

R: l'omogeneita' non si potrebbe scrivere, poiche' lo stesso scalare m moltiplica sia i vt del dominio che del codominio.

Corollario: una funzione lineare e' determinata dai valori che assume su una base del dominio.

f(∑ a_ku_k) = ∑ a_kf(u_k)

dim: f(u_k) cioe' le img di una base del dominio,
permettono di calcolare le img di tutti i vt del dominio, poiche'

l'img di un vt si calcola dagli f(u_k) con cl con uguali coeff del vt del dominio.

Dirlo

≡ 2 funzioni lineari uguali su una base sono uguali in tutto lo spazio.

≡ 2 funzioni lineari che hanno valori uguali su una base, sono uguali in tutto lo spazio.

Teo: f(∑a_ku_k) := ∑a_kv_k  v_k fissati scelti a piacere, è fun lineare. Risulta f(u_k) = v_k .
Teo: sono tutte e sole le funzioni lineari.

dim: additiva

f( (ca_ku_k) + (∑b_ku_k) )  sviluppo argomento di f

f( ∑(a_k+b_k)u_k )         proprietà comblin

∑(a_k+b_k)v_k              definizione di f

∑(a_kv_k+b_kv_k)           assioma spazio lin, distrib

∑a_kv_k+∑b_kv_k            assioma spazio lin, gruppo commutativo

f(∑a_ku_k) + f(∑b_ku_k)  definizione di f

dim omogenea:

f( m∑a_ku_k )

f( ∑ma_ku_k )

   ∑ma_kv_k

   m∑a_kv_k   

mf( ∑a_ku_k )

Residenza

pre: Spazio lineare.

poi: Spazio vettoriale delle funzioni lineari tra 2 spazi vettoriali.

Teo: img e controimmagine lineare di spvt e' spvt

Teo: spvt delle fun lin tra 2 spvt (sullo stesso K) >>>

• somma di 2 funzioni lineari e' lineare.
• prodotto di uno scalare per una fun lin e' lineare.

Teo: composizione di fun lin e' lin

f:X→Y  g:Y→Z   g(f()):X→Y→Z

dim:

g(f(x+y)) = g(f(x)+f(y)) = g(f(x)) + g(f(y))

Funzione vettoriale  f:X→Yⁿ

la funzione vettoriale f:X→Yⁿ puo' essere vista come

n funzioni  f_j:X→Y  j=1..n

Teo: f lineare  ⇔  ogni funzionale componente e' lineare.

dim ⇒: f_j = P_j∘f   la composizione di f  con la proiezione P_j ; le fun componenti sono la composizione di f con le proiezioni dello spazio prodotto sugli spazi fattore.
Le fun componenti sono lineari, quindi anche la fun composta.

dim ⇐: f= ∑ I_j∘f_j    la composizione di f_j  con l'iniezione canonica I_j

p: Dimostrare che e' una funzione lineare.

>>> f(x,y):R²→R        f(x,y):= ax+by

>>> f(x,y,z):R³→R²    f(x,y,z):= (x,y)
        f(x,y,z):R³→R³    f(x,y,z):= (x,y,0)

Problemi di notazione

f(x,y):R²→R

f(x,y):= ax+by              notazione senza pedici

f(s₁, s₂) = c₁s₁ + c₂s₂   notazione con pedici

come lettera scelgo s poiche' non si confonda con:

• z che e' la lettera usuale per la variabile generica del codomino
• u v w che sono le lettere usuali per i nomi dei vettori nel caso si usi la notazione coi pedici.

In matematica si tende a identificare

f(z₁, z₂)     una funzione di 2 variabili  z₁, z₂ con

f((z₁, z₂))  una funzione di 1 variabile a 2 dimensioni  (z₁, z₂)

Approfond

"Funzione lineare" VS "applicazione lineare

nella scuola media superiore (2019 Italia) non si usa "applicazione", quindi ho usato spesso "funzione", invece io all'università sono stato abituato ad "applicazione".

Scrittura "larga" VS "stretta

f(u + v) = f(u) + f(v) 

f(u+v) = f(u)+f(v)

f(u+v)=f(u)+f(v)

nm: funzione lineare (tra 2 spazi lineari sullo stesso campo)

f:(V,K)→(W,K), in breve f:V→W

f:V→W,   in lungo  f:(V,K)→(W,K)

nm:

funzione lineare

funzione lineare tra spazi lineari

funzione lineare tra spazi lineari sullo stesso campo

Ri-Dirlo

funzione lineare (tra 2 spazi lineari sullo stesso campo)

f:V→W   in lungo  f:(V,K)→(W,K)

f(u+v) = f(u)+f(v)   ∀u,v∈V

f(mu) = mf(u)          ∀u∈V ∀m∈K

e' additiva e omogenea.

linearita' di una f tra 2 spazi lineari sullo stesso campo

f(x+y) = f(x)+f(y)   ∀x,y∈V  additiva

f(mx) = mf(x)          ∀x∈V ∀m∈K omogenea

Teo: f(∑a_ku_k) := ∑a_kf(u_k)  e' una funzione lineare, cioe'

        f(∑a_ku_k) := ∑a_kv_k     dove f(u_k) := v_k   scelti a piacere

Dim teo: da linearita' base ad estesa

Teo: additivita' di una funzione lineare

1. proprieta' base
   f(u+v) = f(u) + f(v)   ∀u,v∈V
2. proprieta' estesa ad un nr qualsiasi di addendi
   f(∑ u_k) = ∑ f(u_k)    ∀u_k∈V

dim:

Per dimostrarlo nel caso n, si procede per induzione:

1. e' vero per il caso iniziale, qui 2 addendi.
2. si presuppone vero nel caso n-1, e si dimostra per il successivo n

f(u₁ +... + u_n-1 + u_n)          caso n, che devo riportare al caso n-1

= f( (u₁ + ... + u_n-1) + u_n)  interpreto come somma di 2 addendi

= f( (u₁ + ... + u_n-1) ) + f(u_n)   per additività su 2 di f;

l'argomento della funzione al 1° addendo ha n-1 addendi, quindi si puo' applicare la proprietà, per ipotesi ricorsiva

= f(u₁) +... + f(u_n-1) + a_nf(u_n)

Teo: linearita' f:  "img cl è cl img"   f(∑ a_ku_k) = ∑ a_kf(u_k)

img di una cl è la cl delle immagini (dei vt, con gli stessi coefficienti)

1. proprieta' base
   f(u+v) = f(u) + f(v)   ∀u,v∈V
   f(mu) = mf(u)            ∀u∈V ∀m∈K
   
   ogni caso seguente contiene il precedente
    
2. f(u+mv) = f(u) + mf(v)    ∀u,v∈V ∀m∈K
    
3. f(au+bv) = af(u) + bf(v)   ∀u,v∈V ∀a,b∈K
    
4. f(∑ a_ku_k) = ∑ a_kf(u_k)    ∀{u_k∈V} ∀{a_k∈K}
     img cl  è  cl img

dim:

cominciamo a dimostrarlo nel caso n=2

f(a₁u₁+a₂u₂) = a₁f(u₁)+a₂f(u₂)    da dimostrare

sviluppiamo 1° membro

f(a₁u₁+a₂u₂) = f((a₁u₁)+(a₂u₂))  interpreto come somma di 2 addendi

= f(a₁u₁) + f(a₂u₂)   per additività

=  a₁f(u₁)+a₂f(u₂)    per omogeneità

Per dimostrarlo nel caso n, si procede per induzione:

1. si presuppone vero nel caso n-1, e si dimostra per il successivo n,
2. dopo aver dimostrato il caso iniziale, qui n=2.

f(a₁u₁+...+a_n-1u_n-1+a_nu_n)        caso n, che devo riportare al caso n-1

= f( (a₁u₁+...+a_n-1u_n-1)+a_nu_n)  interpreto come somma di 2 addendi

= f( (a₁u₁+...+a_n-1u_n-1) ) + f(a_nu_n)   per additività; l'argomento della funzione AL 1° addendo ha n-1 addendi, quindi si puo' applicare la proprietà, per ipotesi ricorsiva

= a₁f(u₁)+...+a_n-1f(u_n-1) + a_nf(u_n)    per omogeneità lo sviluppo del 2° addendo.

Talk

Titolo

1. Funzione lineare.
   c: 5-12-2021. Ritrovo oggi questo titolo, ma arrivando da fuori preferisco specificarlo come "Funzione lineare tra 2 spazi vettoriali"

Funzione lineare tra 2 spazi vettoriali

cmt: penso che il "2" sia ridondante poiche' una funzione e' tra 2: dominio e codominio.