linearita' f tra spvt (sullo stesso campo)
f(x+y) = f(x) + f(y) additiva
f(mx) = mf(x)
omogenea
f(∑ akuk) = ∑ akf(uk)
linearita' estesa dim
D: perche' spazi lineari "sullo stesso campo" ?
R: l'omogeneita' non si potrebbe scrivere, poiche' lo stesso scalare m moltiplica sia i vt del dominio che del codominio.
f(∑ akuk) = ∑ akf(uk)
dim: f(uk) cioe' le img di una base del
dominio,
permettono di calcolare le img di tutti i vt del dominio, poiche'
l'img di un vt si calcola dagli f(uk) con cl con uguali coeff del vt del dominio.
≡ 2 funzioni lineari uguali su una base sono uguali in tutto lo spazio.
≡ 2 funzioni lineari che hanno valori uguali su una base, sono uguali in tutto lo spazio.
f( (cakuk) + (∑bkuk) ) sviluppo argomento di f
f( ∑(ak+bk)uk ) proprietà comblin
∑(ak+bk)vk definizione di f
∑(akvk+bkvk) assioma spazio lin, distrib
∑akvk+∑bkvk assioma spazio lin, gruppo commutativo
f(∑akuk) + f(∑bkuk) definizione di f
f( m∑akuk )
f( ∑makuk )
∑makvk
m∑akvk
mf( ∑akuk )
pre: Spazio lineare.
poi: Spazio vettoriale delle funzioni lineari tra 2 spazi vettoriali.
f:X→Y g:Y→Z g(f()):X→Y→Z
g(f(x+y)) = g(f(x)+f(y)) = g(f(x)) + g(f(y))
la funzione vettoriale f:X→Yⁿ puo' essere vista come
n funzioni fj:X→Y j=1..n
dim ⇒: fj = Pj∘f la composizione di f
con la proiezione Pj ; le fun componenti sono la composizione di f
con le proiezioni dello spazio prodotto sugli spazi fattore.
Le fun componenti sono lineari, quindi anche la fun composta.
dim ⇐: f= ∑ Ij∘fj la composizione di fj con l'iniezione canonica Ij
>>> f(x,y):R2→R f(x,y):= ax+by
>>> f(x,y,z):R3→R2
f(x,y,z):= (x,y)
f(x,y,z):R3→R3
f(x,y,z):= (x,y,0)
f(x,y):R2→R
f(x,y):= ax+by notazione senza pedici
f(s1, s2) = c1s1 + c2s2 notazione con pedici
come lettera scelgo s poiche' non si confonda con:
In matematica si tende a identificare
f(z1, z2) una funzione di 2 variabili z1, z2 con
f((z1, z2)) una funzione di 1 variabile a 2 dimensioni (z1, z2)
nella scuola media superiore (2019 Italia) non si usa "applicazione", quindi ho usato spesso "funzione", invece io all'università sono stato abituato ad "applicazione".
f(u + v) = f(u) + f(v)
f(u+v) = f(u)+f(v)
f(u+v)=f(u)+f(v)
f:(V,K)→(W,K), in breve f:V→W
f:V→W, in lungo f:(V,K)→(W,K)
funzione lineare
funzione lineare tra spazi lineari
funzione lineare tra spazi lineari sullo stesso campo
funzione lineare (tra 2 spazi lineari sullo stesso campo)
f:V→W in lungo f:(V,K)→(W,K)
f(u+v) = f(u)+f(v) ∀u,v∈V
f(mu) = mf(u) ∀u∈V ∀m∈K
linearita' di una f tra 2 spazi lineari sullo stesso campo
f(x+y) = f(x)+f(y) ∀x,y∈V additiva
f(mx) = mf(x) ∀x∈V ∀m∈K omogenea
f(∑akuk) := ∑akvk dove f(uk) := vk scelti a piacere
Per dimostrarlo nel caso n, si procede per induzione:
f(u1 +... + un-1 + un) caso n, che devo riportare al caso n-1
= f( (u1 + ... + un-1) + un) interpreto come somma di 2 addendi
= f( (u1 + ... + un-1) ) + f(un) per additività su 2 di f;
l'argomento della funzione al 1° addendo ha n-1 addendi, quindi si puo' applicare la proprietà, per ipotesi ricorsiva
= f(u1) +... + f(un-1) + anf(un)
img di una cl è la cl delle immagini (dei vt, con gli stessi coefficienti)
f(a1u1+a2u2) = a1f(u1)+a2f(u2) da dimostrare
sviluppiamo 1° membro
f(a1u1+a2u2) = f((a1u1)+(a2u2)) interpreto come somma di 2 addendi
= f(a1u1) + f(a2u2) per additività
= a1f(u1)+a2f(u2) per omogeneità
f(a1u1+...+an-1un-1+anun) caso n, che devo riportare al caso n-1
= f( (a1u1+...+an-1un-1)+anun) interpreto come somma di 2 addendi
= f( (a1u1+...+an-1un-1) ) + f(anun) per additività; l'argomento della funzione AL 1° addendo ha n-1 addendi, quindi si puo' applicare la proprietà, per ipotesi ricorsiva
= a1f(u1)+...+an-1f(un-1) + anf(un) per omogeneità lo sviluppo del 2° addendo.
cmt: penso che il "2" sia ridondante poiche' una funzione e' tra 2: dominio e codominio.