^^Funzione lineare tra 2 spazi vettoriali.

funzione lineare (tra 2 spazi lineari sullo stesso campo)

f:V→W   in lungo  f:(V,K)→(W,K)

f(u+v) = f(u)+f(v)   ∀u,v∈V

f(mu) = mf(u)          ∀u∈V ∀m∈K

e' additiva e omogenea.

D: perche' spazi lineari "sullo stesso campo" ?

R: l'omogeneita' non si potrebbe scrivere, poiche' lo stesso scalare m moltiplica sia i vt del dominio che del codominio.

p: Dimostrare che e' una funzione lineare.

>>> f(x,y):R²→R        f(x,y):= ax+by

>>> f(x,y,z):R³→R²    f(x,y,z):= (x,y)
        f(x,y,z):R³→R³    f(x,y,z):= (x,y,0)

Problemi di terminologia

f(x,y):R²→R

f(x,y):= ax+by              notazione senza pedici

f(s₁, s₂) = c₁s₁ + c₂s₂   notazione con pedici

come lettera scelgo s poiche' non si confonda con:

• z che e' la lettera usuale per la variabile generica del codomino
• u v w che sono le lettere usuali per i nomi dei vettori nel caso si usi la notazione coi pedici.

In matematica si tende a identificare

f(z₁, z₂)     una funzione di 2 variabili  z₁, z₂ con

f((z₁, z₂))  una funzione di 1 variabile a 2 dimensioni  (z₁, z₂)

Teo: l'immagine di una combinazione lineare

è = alla comb lin delle immagini (con gli stessi coefficienti)

       f(∑a_ku_k) = ∑a_kf(u_k) 

dim:

cominciamo a dimostrarlo nel caso n=2

f(a₁u₁+a₂u₂) = a₁f(u₁)+a₂f(u₂)    da dimostrare

sviluppiamo 1° membro

f(a₁u₁+a₂u₂) = f((a₁u₁)+(a₂u₂))  interpreto come somma di 2 addendi

= f(a₁u₁) + f(a₂u₂)   per additività

=  a₁f(u₁)+a₂f(u₂)    per omogeneità

Per dimostrarlo nel caso n, si procede per induzione:

1. si presuppone vero nel caso n-1, e si dimostra per il successivo n,
2. dopo aver dimostrato il caso iniziale, qui n=2.

f(a₁u₁+...+a_n-1u_n-1+a_nu_n)          caso n, che devo riportare al caso n-1

= f( (a₁u₁+...+a_n-1u_n-1)+a_nu_n)  interpreto come somma di 2 addendi

= f( (a₁u₁+...+a_n-1u_n-1) ) + f(a_nu_n)   per additività; l'argomento della funzione AL 1° addendo ha n-1 addendi, quindi si puo' applicare la proprietà, per ipotesi ricorsiva

= a₁f(u₁)+...+a_n-1f(u_n-1) + a_nf(u_n)    per omogeneità lo sviluppo del 2° addendo.

Corollario

1. ≡ una funzione lineare e' determinata dai valori che assume su una base del dominio.
2. ≡  valori che la fun lin assume su una base del dominio, permettono di calcolare tutti gli altri valori.
3. ≡ 2 funzioni lineari uguali su una base sono uguali in tutto lo spazio.
4. ≡ 2 funzioni lineari che hanno valori uguali su una base, sono uguali in tutto lo spazio.

dim:

Teo: f(∑a_ku_k) := ∑a_kv_k  v_k fissati scelti a piacere, è fun lineare

in questo modo si possono generare tutte le fun lineari !

dim: additiva

f( (∑a_ku_k) + (∑b_ku_k) )  sviluppo argomento di f

f( ∑(a_k+b_k)u_k )         proprietà comblin

∑(a_k+b_k)v_k              definizione di f

∑(a_kv_k+b_kv_k)           assioma spazio lin, distrib

∑a_kv_k+∑b_kv_k            assioma spazio lin, gruppo commutativo

f(∑a_ku_k) + f(∑b_ku_k)  definizione di f

dim omogenea:

f( m∑a_ku_k )

f( ∑ma_ku_k )

   ∑ma_kv_k

   m∑a_kv_k   

mf( ∑a_ku_k )

Teo

Links

Spazio lineare.

Approfond

"Funzione lineare" VS "applicazione lineare

nella scuola media superiore (2019 Italia) non si usa "applicazione", quindi ho usato spesso "funzione", invece io all'università sono stato abituato ad "applicazione".

Scrittura "larga" VS "stretta

f(u + v) = f(u) + f(v) 

f(u+v) = f(u)+f(v)

f(u+v)=f(u)+f(v)

nm: funzione lineare (tra 2 spazi lineari sullo stesso campo)

f:(V,K)→(W,K), in breve f:V→W

Talk

Titolo

1. Funzione lineare.
   c: 5-12-2021. Ritrovo oggi questo titolo, ma arrivando da fuori preferisco specificarlo come "Funzione lineare tra 2 spazi vettoriali"

Teo: f(∑a_ku_k) := ∑a_kf(u_k)  e' una funzione lineare, cioe'

        f(∑a_ku_k) := ∑a_kv_k     dove f(u_k) := v_k   scelti a piacere