^^Spazio vettoriale (su un campo). Modulo (su un anello).

Spazio vettoriale (su un campo) e' fatto da 3 parti (V, K, *:KxV→V)

  1. vettori: V un gruppo commutativo (in nomenclatura additiva)
  2. scalari: K un campo
  3. prodotto KxV→V di uno scalare per un vt e' un vt, detto prodotto esterno (per distinguerlo dal prodotto del campo).

4 proprietā del prodotto esterno

  1. a(u+v) = au+av      distributiva sui vt
  2. (a+b)v = av+bv      distributiva sugli scalari
  3. (ab)v = a(bv)      compatibilita' tra prodotto esterno e del campo
  4. 1v=v      l'unita' del campo, lo e' anche per il prodotto esterno

Spazio vettoriale sinistro su un corpo  gli stessi assiomi, solo che K e' un corpo.

Spazio vettoriale destro su un corpo 

v(ab) = (va)b    cioe' usando moltiplicazione a sx  (ab)v = b(av)

Modulo

  su un  anello    generalizza
spazio vettoriale  su un  campo

la differenza e' che K, invece di essere un corpo, puo' essere piu' debolmente un anello dotato di 1.

Although similarly defined, the theory of modules is much more complicated than that of vector space, mainly, because, unlike vector spaces, modules are not characterized (up to an isomorphism) by a single invariant (the dimension of a vector space). In particular, not all modules have a basis.

Teo: il prodotto cartesiano X1xX2x...xXn di n spazi vettoriali sullo stesso campo e' uno spazio vettoriale sullo stesso campo

somma di vettori e prodotto esterno definiti da

Corollario: La potenza cartesiana Vn di uno spazio vettoriale V e' uno spazio vettoriale.

Teo: un campo K "e' spazio vt su K"

somma di vettori e prodotto esterno definiti da

Corollario: Kⁿ e' spazio vettoriale su K

la potenza cartesiana di un campo e' il prototipo di spazio vettoriale.

es: ℚⁿ ℝⁿ ℂⁿ

Spazi vettoriali isomorfi (sullo stesso campo)

isomorfismo tra 2 spazi vettoriali sullo stesso campo (V,K) e (W,K)

e' un'applicazione biunivoca f:V→W, tale che

u+v  ↔  f(u)+f(v) cioe'    f(u+v)  =  f(u)+f(v)
mu  ↔  mf(u)   f(mu)  =  mf(u)

equi: e' un'applicazione lineare biunivoca.

ref: Isomorfismo.

Kv := {kv∈V: k∈K }  tutti i multipli di un vt

  1. Teo:  v∈Kv   dim: 1v=v
  2. K e Kv sono spazi vettoriali isomorfi (x≠0) dim: 2&3&4 

Dirlo

  1. i multipli di un vt
  2. tutti i multipli di un vt
  3. l'insieme dei multipli di un vt

oss:

  1. abu  e' univoco

    cmq si rende operativo: (ab)u o a(bu) il risultato e' =.

  2. 1&2 le distributive  ≡  il prodotto esterno e' bi-additivo

Links

Campo algebrico. Corpo algebrico.

Le proprieta' del prodotto esterno
    viste come proprieta' delle funzioni sezione

fsez1.  k→kv   fv:K→Kv  moltiplicaz di ogni scalare per un fissato vt

Dirlo

fsez2.  v→kv  fk:V→V  moltiplicazione di un fissato scalare per ogni vt

dirlo: v→kv  fk:V→V

  1. moltiplicazione di uno scalare fissato per ogni vt
  2. moltiplicazione per uno scalare (dei vettori)
  3. moltiplicazione di ogni vettore per lo stesso scalare

dim sez1

dim1:

(k+h)u = ku+hu   additiva

(mk)u = m(ku)     omogenea

dim2: u:K→V  k→ku

kv=k(hu) = (kh)u ∈Ku

dim sez2

dim: k:V→V  v→kv e' una funzione lineare

a(u+v) = au+av   additiva

a(mu) = (am)u = (ma)u =m(au)   omogenea

oss: e' necessaria la commutativita' della moltiplicazione del campo.

a-1:V→V  x→a-1x   e' la funzione inversa della precedente;

sono anche una l'inversa dell'altra,

quindi sono un isomorfismo

dim: x→ax→a-1(ax) = (a-1a)x = 1x = x

 

Teo: dei segni (o degli opposti)

         (-a)u = -(au)

         a(-u) = -(au)

Teo: dello zero. Annullamento del prodotto esterno

  1. 0u = 0    moltiplicare per 0 scalare, da' vt nullo
  2. k0 = 0    moltiplicare uno scalare per il vt nullo, dā vt nullo
  3. kx = 0   k=0  o  x=0, equi
    kx ≠ 0    k≠0   e  x≠0

dim1:

u:K→V  k→ku   č additiva e quindi l'immagine dello zero e' uno zero 0→0u=0

dim2:

a:V→V  x→ax  č additiva e quindi l'immagine dello zero e' uno zero 0→a0=0.

dim3a: ku=0  e k≠0  ⇒  u=0

ku=0   moltiplico entrambi i membri per k-1 che esiste poiche' k≠0

k-1(ku)=k-10

(k-1k)u=0   1u=0  u=0

dim3b: ku=0  e u≠0 

per il momento non so dimostrarlo

 

 

Approfond

notazione  fk:V→V  v→kv  VS   k:V→V  v→kv

la piu' sintentica rischia di essere confusionaria.

ecz

il prodotto cartesiano XxY di 2 spazi vettoriali (sullo stesso campo) e' uno spazio vettoriale (sullo stesso campo)

  1. (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂)
  2. k(x,y) = (kx,ky)

Meglio usare la notazione  XxY ≡ X1xX2

  1. (x1,x2) + (y1,y2) = (x1+y1, x2+y2)
  2. k(x1,x2) = (kx1,kx2)

ecz Teo Kⁿ e' spazio vettoriale su K

la potenza cartesiano di un campo e' l'esempio prototipico di spazio vettoriale.

  1. (k₁,k₂,...,kₙ) + (h₁,h₂,...,hₙ) = (k₁+h₁, k₂+h₂, ..., kₙ+hₙ)
  2. k(k₁,k₂,...,kₙ) = (kk₁, kk₂, ..., kkₙ)

c: ho preferito ottenere questo risultato come corollario, invece che una dim diretta.

Pero' puo' essere piu' chiaro dimostrare questo che il caso per il singolo K.

Talk

Titolo

  1. Spazio lineare vettoriale.
    c: 3-12-2021. E' il titolo che ritrovo, che aveva lo scopo di ricordare i 2 aspetti: vettori e equazioni lineari, ma messo cosi' fa confusione per il neofita, e allunga per chi sa gia'. Scelgo di contrarre

    Devo dire pero' che in passato avevo adottato il titolo

    quando mi ero reso conto dell'importanza che avevano avuto i sistemi di equazioni lineari e le associate trasformazioni lineari nella genesi della struttura astratta.

 

Spazio vettoriale e' una terna (V, K, *:KxV→V)

  1. V vettori, gruppo commutativo
  2. K scalari, campo
  3. *:KxV→V prodotto esterno di uno scalare per un vt e' un vt

Kⁿ e' spazio vettoriale su K

la potenza cartesiano di un campo e' l'esempio prototipico di spazio vettoriale.

  1. (k₁,k₂,...,kₙ) + (h₁,h₂,...,hₙ) = (k₁+h₁, k₂+h₂, ..., kₙ+hₙ)
  2. k(k₁,k₂,...,kₙ) = (kk₁, kk₂, ..., kkₙ)

c: ho preferito ottenere questo risultato come corollario, invece che una dim diretta.

Formato

X₁xX₂x...xXₙ  VS  X1xX2x...xXn

Formato

il prodotto cartesiano XxY di 2 spazi vettoriali (sullo stesso campo) e' uno spazio vettoriale (sullo stesso campo)

  1. (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂)
  2. k(x,y) = (kx,ky)

 

Modulo su un anello generalizza "spazio vettoriale su un campo"