^^Spazio vettoriale (su un campo). Modulo (su un anello).

Prototipo di spazio vettoriale

Prodotto cartesiano Kⁿ di un campo K,
dotato di 2 operazioni, definite "pointwise":

somma di 2 vettori, fa vt
(x1,x2,...,xn) + (y1,y2,...,yn) =
(x1+y1, x2+y2, ..., xn+yn)

prodotto s*v:KxKⁿ→Kⁿ, scalare per v fa vt
k(x1,x2,...,xn) = (kx1,kx2,...,kxn)

 

Anche prodotto cartesiano ∞  K∞ ≡ ∏Ki i∈I

(xi) + (yi) = (xi+yi)

k(xi) = (kxi)

Es notevoli: ℝⁿ ℂⁿ  prodotto in nr finito.

F(N→R) spvt delle successioni di nr reali. Indice numerabile.

F(R→R) spvt delle funzioni reali di variabile reale. Indice potenza del continuo.

nm:

nr numero; fun funzion; var variabil; opbin operazione binaria

CNS Condizione Necessaria e Sufficiente

vt vettor-e/i; spvt spazio vettoriale;  sspvt sottospazio vettoriale.

scalari: a b c ...   prime lettere dell'alfabeto

vettori: u v w ...   ultime lettere dell'alfabeto

"spvt" significa sia l'insieme dei vettori, sia con l'aggiunta di tutto il corredo di scalari e operazioni.

Definizione astratta di spazio vettoriale

Spazio vettoriale (su un campo) e' fatto da 3 parti (V, K, *:KxV→V)

  1. V  i vettori: sono un gruppo commutativo (nomenclatura additiva)
  2. K  gli scalari: sono un campo
  3. KxV→V prodotto di uno scalare per un vt e' un vt,
    detto prodotto esterno (per distinguerlo dal prodotto del campo).

Proprietà definitorie del prodotto s*v "scalare*vettore"

  1. a(u+v) = au+av      distributiva sui vt
  2. (a+b)v = av+bv      distributiva sugli scalari
  3. (ab)v = a(bv)      compatibilita' tra prodotto esterno e del campo
  4. 1v=v      l'unita' del campo e' unita' sx per il prodotto esterno

oss:

queste proprieta' sono di verifica immediata nel caso Kⁿ, il fatto stupefacente e' che se sono soddisfatte da una struttura si dimostra che e' un Kⁿ !
Si usa dire: queste proprieta' caratterizzano gli spazi Kⁿ.

oss:

  1. A1&2: le distributive  ≡  il prodotto esterno e' bi-additivo
  2. A4: 1v=v  esiste uno scalare che moltiplicato per un vt lo lascia inalterato, lo possiamo chiamare "unita' sx del prodotto esterno", questo elemento e' l'unita' del campo degli scalari.

 

Espressioni e regole di manipolazione algebrica in uno spazio vettoriale.

Combinazione lineare.

Spazi vettoriali isomorfi (sullo stesso campo)

isomorfismo tra 2 spazi vettoriali sullo stesso campo (V,K) e (W,K)

e' un'applicazione biunivoca f:V→W, tale che

u+v  ↔  f(u)+f(v) cioe'    f(u+v)  =  f(u)+f(v)
mu  ↔  mf(u)   f(mu)  =  mf(u)

equi: e' un'applicazione lineare biunivoca.

ref: Isomorfismo.

Costruire spazi vettoriali

Teo: un campo K e' "spazio vt su K"

lo spvt associato_e_identificato al campo K ≡ (K,+,*)  e'

((K,+), K, Kx(K,+)→(K,+))

somma di vettori e prodotto esterno definiti da

dim: le proprieta' di somma e prodotto di spvt sono anche proprieta' definitorie di somma e prodotto di campo.

Dirlo

Teo: prodotto cartesiano di spvt e' spvt (tutti sullo stesso campo)

∏Vi i∈I ha: somma di vt, e prodotto esterno, definiti punto-punto da

dim: >>>

Corollario: La potenza cartesiana Vn di uno spvt V e' spvt.

Corollario: Kⁿ e' spazio vettoriale su K

dim: la potenza cartesiana K di un campo K e' spvt poiche'

rem: la potenza cartesiana di un campo e' il prototipo di spazio vettoriale.
Qui e' dimostrato che lo e' secondo la def astratta.

Spvt delle combinazioni lineari formali >>>

Spvt Kv := {kv∈V: k∈K }  tutti i multipli di un vt >>>

Sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale

sspvt d spvt    un sottoinsieme dello spazio vettoriale che sia spvt con la struttura ereditata dallo spvt contenitore.

Precisando la struttura ereditata:

  1. la somma di vt dello spvt e' ristretta al ssp
  2. il campo e' lo stesso per entrambi
  3. il prodotto esterno e' ristretto a Kxssp

sspvt CNS somma e prodotto esterno di elementi del ssp appartengono al ssp.

cioe' risultato delle op: interno al ssp.

dim: le proprieta' delle operazioni rimangono valide anche per gli elementi del sottospazio, si dice che "sono ereditate" dallo spazio maggiore.

Teo: iniezione canonica degli spazi fattore nel prodotto.

in altre parole:

I1: V1→V1xV2XV3   I1(x) ;= (x,0,0)

I2: V2→V1xV2XV3   I2(x) ;= (0,x,0)

I3: V4→V1xV2XV3   I3(x) ;= (0,0,x)

Ij: Vj→∏Vi  

e' l'iniezione isomorfa di uno spazio fattore nel prodotto cartesiano.

La tupla (vi) immagine di un elemento x∈Vj , Ij(x), e' siffatta:

In simboli un po' poco leggibili

Ij(x) = (0i≠j , x)

Ij(Vj) = (0i≠j)xVj  notazione di mia invenzione poiche' non so quella ufficiale.

Proiezione canonica del prodotto cartesiano sui ssp fattore.

La proiezione canonica Pj(vi)→(vj , 0i)

lascia inalterata la coordinata j e azzera tutte le altre.

Teo: la proiezione canonica e' lineare.

Proiezione canonica  Pj: ∏Vi → Vj    (vi) → vj

Proiezione canonica  Pj: ∏Vi → (0i≠j)xVj    (vi) →  (0i≠j , vj)

Funzionale canonico  Pj: Kⁿ → K    (vi) → vj

Teo: l'intersezione di sspvt e' un sspvt. (ssp di un fissato sp).

Intersezione di una collezione anche infinita.

Links

Campo algebrico. Corpo algebrico.

Le funzioni sezione del prodotto esterno

Le proprieta' del prodotto esterno
    viste come proprieta' delle funzioni sezione

rem: applicazioni sezione dell'op bin.

rem: funzioni sezione (di funzione di piu' variabili)

 

Il prodotto esterno e' una funzione bilineare tra spvt.

Notazione per le funzioni sezione del prodotto esterno

f(k,v): KxV→V  il prodotto esterno f e' una fun di 2 var

 

aV trasformazione di V     Kv  multipli di un vt;

      duplicato di K

  
v→av a→av  
v→av  acostvvar a→av  avarvcost  
v→av  ∀v∈V  acost a→av ∀ac  vcost  
trasformazione di V "iniezione" di K in V  
fa(v) ≡ f(a,v) = av

fa() ≡ f(a, )

 fv(a) ≡ f(a,v) = av

fv() ≡ f( ,v)

  
fa: V→V   v→fa(v) ≡ av fv: K→V   a→fv(a) ≡ av  
a: V→V  v→av v: K→V   a→av  
aV ≡ ran(fa) Kv ≡ ran(fv)  

notazione troppo sintentica rischia di essere confusionaria

notazione troppo estesa rischia di essere confusionaria

Le 2 funzioni sezione del prodotto esterno

  1. Omotetia ≡ dilatazione (isotropa) di uno spvt >>>
    v→av  fa:V→V  moltiplicare un fissato scalare per ogni vt
  2. Prolungamento di un vettore v a retta Kv
    Kv := {kv∈V: k∈K }  tutti i multipli di un vt >>>

 

Approfond

ecz Teo: il prodotto cartesiano di 2 spazi vettoriali (sullo stesso campo) e' uno spazio vettoriale (sullo stesso campo)

le operazioni sono:

  1. (x1,x2) + (y1,y2) = (x1+y1, x2+y2)
  2. k(x1,x2) = (kx1,kx2)

Attenzione: e' la notazione piu' chiara, poiche'

E' sconveniente usare la notazione XxY ≡ X1xX2 poiche':

  1. (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂)
  2. k(x,y) = (kx,ky)

ecz Teo Kⁿ e' spazio vettoriale su K

la potenza cartesiano di un campo e' l'esempio prototipico di spazio vettoriale.

  1. (k₁,k₂,...,kₙ) + (h₁,h₂,...,hₙ) = (k₁+h₁, k₂+h₂, ..., kₙ+hₙ)
  2. k(k₁,k₂,...,kₙ) = (kk₁, kk₂, ..., kkₙ)

c: ho preferito ottenere questo risultato come corollario, invece che una dim diretta.

Pero' puo' essere piu' chiaro dimostrare questo che il caso per il singolo K.

 

 

Dirlo

 

 

cmt: scrittura di una npla

Teo: prodotto cartesiano di spvt e' spvt (tutti sullo stesso campo)

somma di vettori e prodotto esterno definiti punto-punto da

 

Talk

Titolo

  1. Spazio lineare vettoriale.
    c: 3-12-2021. E' il titolo che ritrovo, che aveva lo scopo di ricordare i 2 aspetti: vettori e equazioni lineari, ma messo cosi' fa confusione per il neofita, e allunga per chi sa gia'. Scelgo di contrarre

    Devo dire pero' che in passato avevo adottato il titolo

    quando mi ero reso conto dell'importanza che avevano avuto i sistemi di equazioni lineari e le associate trasformazioni lineari nella genesi della struttura astratta.

 

Spazio vettoriale e' una terna (V, K, *:KxV→V)

  1. V vettori, gruppo commutativo
  2. K scalari, campo
  3. *:KxV→V prodotto esterno di uno scalare per un vt e' un vtù

Spazio vettoriale (su un campo) e' fatto da 3 parti (V, K, *:KxV→V)

  1. vettori: V un gruppo commutativo (in nomenclatura additiva)
  2. scalari: K un campo
  3. prodotto KxV→V di uno scalare per un vt e' un vt, detto prodotto esterno (per distinguerlo dal prodotto del campo).

 

Kⁿ e' spazio vettoriale su K

la potenza cartesiano di un campo e' l'esempio prototipico di spazio vettoriale.

  1. (k₁,k₂,...,kₙ) + (h₁,h₂,...,hₙ) = (k₁+h₁, k₂+h₂, ..., kₙ+hₙ)
  2. k(k₁,k₂,...,kₙ) = (kk₁, kk₂, ..., kkₙ)

cmt: ho preferito ottenere questo risultato come corollario, invece che una dim diretta.

Formato

X₁xX₂x...xXₙ  VS  X1xX2x...xXn

Formato

il prodotto cartesiano XxY di 2 spazi vettoriali (sullo stesso campo) e' uno spazio vettoriale (sullo stesso campo)

  1. (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂)
  2. k(x,y) = (kx,ky)

 

Teo: il prodotto cartesiano X1xX2x...xXn di n spazi vettoriali sullo stesso campo e' uno spazio vettoriale sullo stesso campo

cmt: formulazione pesante, non in forma memo.

 

 

Prodotto cartesiano Kⁿ di un campo K,
dotato di 2 operazioni, definite "pointwise":

somma di 2 vettori fa vt
(x1,x2,...,xn) + (y1,y2,...,yn) =
(x1+y1, x2+y2, ..., xn+yn)

prodotto s*v:KxKⁿ→V scalare per v fa vt
k(x1,x2,...,xn) = (kx1,kx2,...,kxn)

 

Anche prodotto cartesiano ∞  K∞ ≡ ∏Ki i∈I

(xi) + (yi) = (xi+yi)

k(xi) = (kxi)

 

Prodotto cartesiano Kⁿ di un campo K,


dotato di 2 operazioni, definite "pointwise":

 

 

Anche prodotto infinito  ∏Ki  i∈I