^^Funzione omogenea.

 

Def universitÓ

In uno spazio lineare (X,K):

Funzione omogenea

    f(mx) = mf(x)  ∀ m∈K,x∈X

 

Funzione omogenea di grado n∈ℕ

    f(mx) = mnf(x)  ∀ m∈K,x∈X

 

In uno spazio lineare sul campo reale o complesso

Funzione omogenea di grado r∈ℝ

f(mx) = mr∙f(x)  

Approfond

x ↝ x'=mx   variazione espressa con freccia ondina

x ⇢ mx        freccia trattino

x → mx  e' usato, ma confondibile con "corrispondenza"

Def equivalenti

  1. f(mx) = mf(x)  ∀m∈K,x∈X   
    e' la piu' sintetica, in forma funzionale
  2. Se xB = mxA   allora   yB = myA 
    il pedice A indica lo stato di riferimento
    il pedice B indica lo stato variato
  3. Se x ↝ mx   allora   y ↝ my
    qui non viene dato un nome esplicito al valore nei 2 stati, ma solo il nome generale della variabile.
    es: per un corpo omogeneo, es acqua
    se il volume (x) varia di un fattore m,
    allora ia massa varia di un fattore m
  4. Se x → y    allora   mx → my

 

x     y
     
mx     my
              
x     f(x)
     
mx     mf(x)

 

f(mx) = mr∙f(x)  

≡  Se xB = mxA   allora   yB = myA 

≡  Se x → mx   allora   y → mry

 

Dirlo

  1. se il volume (x) varia di un fattore m,
    allora ia massa (y) varia di un fattore m
  2. se il volume (x) varia di un fattore,
    allora ia massa (y) varia dello stesso fattore
  3. se il volume (x) moltiplica,
    anche ia massa (y), della stessa moltiplica
    es: se il volume moltiplica per 3,
    anche la massa moltiplica per 3.

 

Esempi

Teo: nel caso di f:R→R, le funzioni omogenee sono:

y = kx    funzione omogenea

y = kxr   funzione omogenea di grado r

Le funzioni potenza sono le funzioni omogenee.

Teo: i polinomi omogenei f:Rn→R sono funzioni omogenee di grado n

Es: f(x,y) := ax2 + bxy + cy2  e' una fun omogenea di grado 2.

 

Links

Omogeneo.