^^Funzione omogenea.

Def università

In uno spazio lineare (X,K):

Funzione omogenea

    f(mx) = mf(x)  ∀ m∈K,x∈X

Funzione omogenea di grado n∈ℕ

    f(mx) = mⁿf(x)  ∀ m∈K,x∈X

In uno spazio lineare sul campo reale o complesso

Funzione omogenea di grado r∈ℝ

f(mx) = m^r∙f(x)  

Approfond

x ↝ x'=mx   variazione espressa con freccia ondina

x ⇢ mx        freccia trattino

x → mx  e' usato, ma confondibile con "corrispondenza"

Def equivalenti

1. f(mx) = mf(x)  ∀m∈K,x∈X   
   e' la piu' sintetica, in forma funzionale
2. Se x_B = mx_A   allora   y_B = my_A 
   il pedice A indica lo stato di riferimento
   il pedice B indica lo stato variato
3. Se x ↝ mx   allora   y ↝ my
   qui non viene dato un nome esplicito al valore nei 2 stati, ma solo il nome generale della variabile.
   es: per un corpo omogeneo, es acqua
   se il volume (x) varia di un fattore m,
   allora ia massa varia di un fattore m
4. Se x → y    allora   mx → my

f(mx) = m^r∙f(x)  

≡  Se x_B = mx_A   allora   y_B = my_A 

≡  Se x → mx   allora   y → m^ry

Dirlo

1. se il volume (x) varia di un fattore m,
   allora ia massa (y) varia di un fattore m
2. se il volume (x) varia di un fattore,
   allora ia massa (y) varia dello stesso fattore
3. se il volume (x) moltiplica,
   anche ia massa (y), della stessa moltiplica
   es: se il volume moltiplica per 3,
   anche la massa moltiplica per 3.

Esempi

Teo: nel caso di f:R→R, le funzioni omogenee sono:

y = kx    funzione omogenea

y = kx^r   funzione omogenea di grado r

Le funzioni potenza sono le funzioni omogenee.

Teo: i polinomi omogenei f:Rⁿ→R sono funzioni omogenee di grado n

Es: f(x,y) := ax² + bxy + cy²  e' una fun omogenea di grado 2.

Links

Omogeneo.