^^La cinematica e il calcolo differenziale infinitesimale.

v=x'     a=x"

la velocita' e' la derivata prima della posizione, e 
l'accelerazione  e' la derivata seconda   

Precisiamo-esplicitiamo il legame col tempo

x v a posizione velocita' e accelerazione sono funzioni del tempo, esprimibile ad es con x=x(t) v=v(t) a=a(t): ad un valore di tempo-istante corrisponde 1 valore di x v a; nella notazione cio' puo' essere implicito o esplicito, es: v=x' o v(t)=x'(t)

x    xt posizione x   in funz del tempo t, corrispondente al tempo t
v=x'   vt=x't velocita' v   in funz del tempo t, corrispondente al tempo t
      derivata prima x' della x   in funz del tempo t, corrispondente al tempo t
a=x"   at=x"t   accelerazione a    in funz del tempo t, corrispondente al tempo t
      derivata seconda x" della x   in funz del tempo t, corrispondente al tempo t

Notazioni alternative

Posizione, funzione del tempo   xt       x(t)     x=x(t)     x(t)=f(t)     x=f(t)
Velocita', derivata vt=x't   v(t)=x'(t)   v=x'(t)   v(t)=f'(t)   v=f'(t)
Acceleraz, derivata 2a  at=x"t   a(t)=x"(t)    a=x"(t)    a(t)=f"(t)    a=f"(t) 

Il legame tra cinematica e calcolo differenziale

Si tratta di riconoscere che: v=x' e a=x".

Il caso funzione polinomio di 2 (della posizione in funzione del tempo). Confronto tra la notazione standard cinematica e matematica.

Velocita' e accelerazione della cinematica diventano derivata prima e seconda del calcolo differenziale infinitesimale, e a questi significati specifici x v a si sostituiscono in matematica coefficienti generici che rendono il polinomio in forma canonica.

Ricaviamo velocita' e accelerazione dal polinomio in t di 2 grado, derivando rispetto al tempo

x(t)= a0 + a1*t + a2*t2     x(0)= a0  
x'(t)= a1 + 2*a2*t   x'(0)= a1  
x"(t)= 2*a2   x"(0)= 2*a2  

x"(t)= 2*a2  e' costante! In simboli: x"(t)=x"(0)= k 

Notazione: i coefficienti del polinomio di solito si indicano con la lettera a, an.

Posizione, velocita' e accelerazione nel moto ad accelerazione costante ak

x(t)= x0 + v0*t + (1/2)*a*t2     x(0)= x0  
v(t)= v0 + a*t   v(0)= v0  
a(t)= a   a(0)= a  

a(t)= a= a0  e' costante! In simboli: a(t)=a(0)= k 

Confronto immediato

Dipende dalla mentalizzazione. Forse il modo piu' semplice-immediato e': guardiamo alla formula cinematica x(t) come caso particolare di polinomio:
x(t)= x0 + v0*t + (1/2)*a*t2

x(t)= a0 + a1*t + a2*t2

a0=x0    a1=v0    a2=(1/2)*a

Riscriviamo x=f(t) per il moto acceleraz cost

1  
xt= x0 + v0*t + 
*a*t2
2  
la solita scrittura usuale
1  
x(t)= x(0) + x'(0)*t + 
*x"(0)*t2
2  
Riscritture per evidenziare:

la struttura funzionale e le derivate

1  
f(t)= f(0) + f'(0)*t + 
*f"(0)*t2
2  
Col simbolo f piuttosto che x
1  
f(x)= f(0) + f'(0)*x + 
*f"(0)*x2
2  
Come funzione di x piuttosto che di t

Alter espo

1   vt=f'(t) la velocita' e' la derivata prima della posizione
2 at=f"(t)   l'accelerazione  e' la derivata seconda   

Precis

Detto:   x posizione    
si ha: v=x' la velocita' e' la derivata prima della posizione
  a=x"   l'accelerazione  e' la derivata seconda   

Precis

Detto:   xt posizione    
si ha: vt=x't la velocita' e' la derivata prima della posizione
  at=x"t   l'accelerazione  e' la derivata seconda   
xt   posizione x in funzione del tempo t, corrispondente al tempo t
vt velocita' v in funzione del tempo t, corrispondente al tempo t
at accelerazione a  in funzione del tempo t, corrispondente al tempo t

Links

  1. Le formule della cinematica scritte come polinomi in funzione del tempo.
  2. Confronto cinematica e dinamica moto traslatorio e rotatorio.
  3. Relazione fondamentale tra i coefficienti del polinomio-funzione e le sue derivate.
  4. Energia potenziale e calcolo differenziale infinitesimale.
  5. ix Calcolo differenziale, finito e infinitesimale