^^Relazione fondamentale tra i coefficienti del polinomio-funzione e le sue derivate.

Sviluppo in serie di potenze Calcolo del coefficiente tramite derivazione

f(x)= ∑ an*xn

  
1  
  an  =    
 * f(n)(0) 
n!  

 

ho voluto porre questa forma da memorizzare, per economia, poiche' coincide con un'altra forma piu' generale: lo sviluppo in serie di potenze di una funzione qualsiasi. Il polinomio e' lo sviluppo in serie di potenze di se' stesso.

dim:

f(x)= ∑ an*xn derivazione ripetuta

 
f(n)(0)= n!*an la derivata n-esima del polinomio, calcolata in 0
1  
an  =    
 * f(n)(0) 
n!  
ricavo il coefficiente

 

1  
f(x)=  ∑   
 * f(n)(0) * xn 
n!  

 

 

  

scritto tutto in un'unica formula.

Io me lo ricordo meglio spezzato in 2 parti, come ho proposto.

Una cosa e' lo sviluppo in serie,

una seconda e' il calcolo dei coefficienti.

f(n)(0)= n!*an   la derivata n-esima del polinomio, calcolata in 0

Dimostrazione basata su: D xn = n*xn-1     D(n) xn = n!    D(n) an*xn = n!*an

Per evidenziare le derivate del polinomio, gia' nella scrittura del polinomio

si possono scrivere i coefficienti in modo tale che compaiano i valori delle derivate

1  
f(x)= ∑  
*an*xn       an=f(n)(0) 
n!  

 

 

 

 

f(x)=a0 + a1*x + a2*x2 + a3*x3 + a4*x4 + a5*x5 + a6*x6 + a7*x7 + a8*x8 + a9*x9 + ...

 

f(0)=a0   f(x)= a0 a1*x a2*x2 a3*x3 a4*x4 a5*x5 a6*x6 a7*x7
f'(0)=a1   f'(x)= 0 a1 2*a2*x 3*a3*x2 4*a4*x3 5*a5*x4 6*a6*x5 7*a7*x6
f"(0)=2*a2   f"(x)=   0 2*a2 3*2*a3*x 4*3*a4*x2 5*4*a5*x3 6*5*a6*x4 7*6*a7*x5
f(3)(0)=3!*a3   f(3)(x)=     0 3!*a3 4!2*a4*x 5!3*a5*x2 6!4*a6*x3 7!5*a7*x4
f(4)(0)=4!*a4   f(4)(x)=       0 4!*a4 5!2*a5*x 6!3*a6*x2 7!4*a7*x3
f(5)(0)=5!*a5   f(5)(x)=         0 5!*a5 6!2*a6*x 7!3*a7*x2
f(6)(0)=6!*a6   f(6)(x)=           0 6!*a6 7!2*a7*x
f(7)(0)=7!*a7   f(7)(x)=             0 7!*a7
    f(8)(x)=0               0

Notazione privata mia: 7!4=7*6*5*4

f(x)= a0 a1*x a2*x2 a3*x3 a4*x4 a5*x5 a6*x6 a7*x7
  f(0)
=
a0		 f'(0)
=
a1		 f"(0)
=
2*a2		 f(3)(0)
=
3!*a3		 f(4)(0)
=
4!*a4		 f(5)(0)
=
5!*a5		 f(6)(0)
=
6!*a6		 f(7)(0)
=
7!*a7

 

Per regolarita'

1 = x0
x = x1
f(x) = f(0)(x)
f'(x) = f(1)(x)
f"(x) = f(2)(x)
2 = 2!
1 = 1!
1 = 0!

da cui:

 

f(x)=a0*x0 + a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 + a4*x4 + a5*x5 + a6*x6 + a7*x7 + a8*x8 + a9*x9 + ...

 

                     
f(0)(0)=0!*a0   f(0)(x)= a0*x0 a1*x1 a2*x2 a3*x3 a4*x4 a5*x5 a6*x6 a7*x7
f(1)(0)=1!*a1   f(1)(x)= 0 a1*x0 2*a2*x1 3*a3*x2 4*a4*x3 5*a5*x4 6*a6*x5 7*a7*x6
f(2)(0)=2!*a2   f(2)(x)=   0 2*a2*x0 3*2*a3*x1 4*3*a4*x2 5*4*a5*x3 6*5*a6*x4 7*6*a7*x5
f(3)(0)=3!*a3   f(3)(x)=     0 3!*a3*x0 4!2*a4*x1 5!3*a5*x2 6!4*a6*x3 7!5*a7*x4
f(4)(0)=4!*a4   f(4)(x)=       0 4!*a4*x0 5!2*a5*x1 6!3*a6*x2 7!4*a7*x3
f(5)(0)=5!*a5   f(5)(x)=         0 5!*a5*x0 6!2*a6*x1 7!3*a7*x2
f(6)(0)=6!*a6   f(6)(x)=           0 6!*a6*x0 7!2*a7*x1
f(7)(0)=7!*a7   f(7)(x)=             0 7!*a7*x0
    f(8)(x)=0               0