^^Le formule della cinematica scritte come polinomi in funzione del tempo.
Le formule scritte come polinomi in funzione del tempo
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y |
v |
| v=k |
y=y0+v*t |
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| a=k |
y=y0+v0*t+(1/2)*a*t2 |
v=v0+a*t |
Le formule nella forma usuale
L'usanza e' di fornirle non inquadrate nello schema generale
precedente, che mostro piu' avanti. Per convenienza del lettore di potersi
ritrovare con quanto mostrato usualmente nei libri, espongo secondo usanza.
v=k
| ∆y=v*∆t |
E' la def di velocitą media, che e' costante e uguale alla velocitą
istantanea. |
| y=v*t |
se y0=0 e t0=0, poiche'
∆y=y, ∆t=t. |
a=k
| ∆v=a*∆t |
E' la def di acceleraz media, che e'
costante e uguale all'acceleraz
istantanea. |
| v=a*t |
se v0=0 e t0=0, poiche' ∆v=v, ∆t=t. Inoltre ∆y=(1/2)*a*t2 |
| s=(1/2)*a*t2 |
se x0=0 v0=0 t0=0 |
| ∆y=(1/2)*a*(∆t)2 |
se v0=0 |
| ∆y=v0*∆t+(1/2)*a*(∆t)2 |
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Notazione per la "A"
>>>
- "A" maiuscola: primo coefficiente del polinomio
- "a" minuscola: accelerazione del moto.
Le formule della posizione scritte come polinomi in funzione del tempo.
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Polinomio in t |
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y(t) |
| 0 |
yt=A |
| 1 |
yt=A+B*t |
| 2 |
yt=A+B*t+C*t2 |
| 3 |
yt=A+B*t+C*t2+D*t3 |
|
„ |
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Interpretazione cinematica dei coefficienti.
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Polinomio in t |
Riconoscere |
Riconosciuto |
Riconosciuto |
| |
y(t) |
A |
B |
C |
y(t) |
v(t) |
| 0 |
yt=A |
y0 |
|
|
yt=y0 |
|
| 1 |
yt=A+B*t |
y0 |
v |
|
yt=y0+v*t |
|
| 2 |
yt=A+B*t+C*t2 |
y0 |
v0 |
(1/2)*a |
yt=y0+v0*t+(1/2)*a*t2 |
vt=v0+a*t |
| 3 |
yt=A+B*t+C*t2+D*t3 |
y0 |
v0 |
(1/2)*a |
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„ |
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Quale e' il significato di B? Per rispondere calcoliamo un po' di
valori della tabella di corrispondenza
Possiamo anche considerare: se y(t)=A+B*t, allora y(t+1)=A+B*(t+1)=A+B*t+B
Conclusione: detto a parole, ogni incremento di tempo di 1 unita',
corrisponde un aumento di y di B.
Le formule della posizione scritte come polinomi in funzione del tempo, e di
conseguenza velocita' e accelerazione.
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y(t) |
y(0) |
v(t) |
v(0) |
a(t) |
a(0) |
da/dt |
da/dt(0) |
| 0 |
y(t)=A |
A |
v(t)=0 |
0 |
a(t)=0 |
0 |
=0 |
0 |
| 1 |
y(t)=A+B*t |
A |
v(t)=B |
B |
a(t)=0 |
0 |
=0 |
0 |
| 2 |
y(t)=A+B*t+C*t2 |
A |
v(t)=B+2*C*t |
B |
a(t)=2*C |
2*C |
=0 |
0 |
| 3 |
y(t)=A+B*t+C*t2+D*t3 |
A |
v(t)=B+2*C*t+3*D*t2 |
B |
a(t)=2*C+6*D*t |
2*C |
=6*D |
6*D |
Matematicamente puo' andare avanti all'infinito, ma fisicamente i casi piu'
importanti sono questi.
I coefficienti del polinomio sono legati al valore di x v a all'istante 0:
A=y(0), B=v(0), C=(1/2)*a(0).
I casi sono casi particolari dei casi di grado superiore
Es: y(t)=A+B*t+C*t2 e' caso particolare di y(t)=A+B*t+C*t2+D*t3
con D=0.
Tenuto conto del significato cinematico dei coefficienti (cioe' il loro
legame con x v a), in cinematica e' usuale scrivere la posizione in funzione di
essi, piuttosto che dei coefficienti del polinomio.
| |
y(t) |
v(t) |
a(t) |
da/dt |
| 0 |
y(t)=y(0) |
v(t)=0 |
a(t)=0 |
=0 |
| 1 |
y(t)=y(0)+v(0)*t |
v(t)=v(0) |
a(t)=0 |
=0 |
| 2 |
y(t)=y(0)+v(0)*t+(1/2)*a(0)*t2 |
v(t)=v(0)+a(0)*t |
a(t)=a(0) |
=0 |
| 3 |
y(t)=y(0)+v(0)*t+(1/2)*a(0)*t2+D*t3 |
v(t)=v(0)+a(0)*t+3*D*t2 |
a(t)=a(0)+6*D*t |
=6*D |
Soppressioni
- non si sta a citare il moto a posizione costante, anche se cio' trova il
suo posto in una espressione regolare.
- non si sta a citare il fatto che velocita' e accelerazione di un moto a
posizione costante sono 0, anche se cio' trova il suo posto in una espressione
regolare.
- non si sta a citare il fatto che accelerazione di un moto a velocita'
costante e' 0, anche se cio' trova il suo posto in una espressione regolare.
- ci si limita all'accelerazione costante, senza indagare la velocita' di
variazione dell'accelerazione
- non si usa la notazione delle funzioni, bensi' quella coi pedici
- non si cita esplicitamente la dipendenza della grandezza calcolata in
funzione del tempo: si scrive y piuttosto che y(t), v piuttosto che v(t), a
piuttosto che a(t)
Tutte queste soppressioni sono comode poiche' portano a una scrittura concisa
e sintetica, che e' comoda per chi ha gia' capito e deve solo ricordare, pero'
puo' essere di ostacolo per chi deve imparare, poiche' le regolarita' non
appaiono, uno se le dovrebbe ricostruire mentalmente. E' per questo che le ho
volute mostrare una volta.
Soppresso
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y(t) |
v(t) |
a(t) |
| 0 |
y(t)=y0 |
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| 1 |
y(t)=y0+v0*t |
v(t)=v0 |
|
| 2 |
y(t)=y0+v0*t+(1/2)*a0*t2 |
v(t)=v0+a0*t |
a(t)=a0 |
Piu' soppresso
| |
y |
v |
a |
| 0 |
y=y0 |
|
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| 1 |
y=y0+v0*t |
v=v0 |
|
| 2 |
y=y0+v0*t+(1/2)*a0*t2 |
v=v0+a0*t |
a=a0 |