^^Analogie di formule legate al calcolo integrale.
Caso di riferimento: s=½at² |v0=0 spazio percorso da un moto ad acceleraz
cost.
| se v costante, v=v0 |
, allora ∆s = v*∆t |
| se v variabile, v=v(t) |
, allora ∆s =∫v(t)dt. Nel caso v(t)=at con
a=k, ∫atdt
= ½at² |
| dy=y'*dx |
y'(x)=k*x |
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| ds=v*dt |
v(t)=a*t |
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posizione |
| dβ=ω*dt |
ω(t)=a*t |
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posizione
angolare |
| dA=C*dr |
C(r)=2p*r |
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cerchio
circonferenza |
| dA=p*dL |
p=2*L |
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quadrato
perimetro
p=semiperim |
| dU=h*dP |
h(P)=k*P
h(P)=P/C |
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pila di pesi
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| dU=P*dh |
P(h)=C*h dP=C*dh |
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pila di pesi
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| dU=-F*dx |
F(x)=-k*x |
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molla |
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| dU=V*dq |
V(q)=q/C |
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condensatore
elettrico |
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dU=F*di |
F(i)=L*i |
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induttore
elettrico |
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| dT=p*dv |
p(v)=m*v |
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energia
cinetica |
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| dT=L*dω |
L(ω)=Iω |
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energia
cinetica rotatoria |
Analogie non basate sul calcolo integrale, pura forma algebrica
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v=Rω |
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accelerazione
centripeta |
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V=RI |
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resistore
voltaggio
potenza |
Simili e diversi
L'esposizione di tutti questi casi e' stata fatta evidenziando le
somiglianze, pero' i diversi casi hanno anche degli aspetti di diversita'. E'
utile al comprendonio soffermarsi a pensare questa tabella.
- Consideriamo i casi: v(t)=a*t
F(i)=L*i C(r)=2p*r; v puo' essere costante
rispetto a t, non C(r) rispetto a r. Fisicamente: le corrispondenze hanno
natura di dipendenza diversa.
- s=s(t) e' una grandezza fondamentale, e quindi la derivata
matematica fornisce le grandezze derivate.
Invece in altri casi la grandezza che qui matematicamente e' il punto di
partenza, viene ricavata per integrazione.
- U=∫-F(x)*dx nel caso del legame forza-energia, non e' la derivata,
ma il suo opposto
Scelta della forma della tabella. Elenco delle forme alternative che
seguono, per poter confrontare
| s=s(t) |
ds=v(t)*dt s=∫v(t)*dt |
v(t)=a*t |
s=∫a*t*dt |
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posizione |
| s=s(t) |
∆s=∫ds |
ds=v*dt |
v(t)=a*t |
ds=a*t*dt |
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posizione |
| s=s(t) |
s=∫v(t)*dt |
v(t)=a*t |
s=∫a*t*dt |
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posizione |
Guardando con occhio fresco, ho trovato pesante la forma che avevo
lasciato. Mi sono organizzato con questo confronto, e ora propongo:
| ds=v*dt |
v(t)=a*t |
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posizione |
dove:
- s=s(t) omesso. Non viene piu' citata in apertura: che e' la
dichiarazione di quale e' la variabile di cui si sta parlando, e di quale
altra variabile e' funzione.
- ds=v(t)*dt semplificato in: ds=v*dt, supponendo che sia chiaro che il
valore di "v" e' associato all'istante. Cmq cio' appare nella cella successiva
- s=∫v(t)*dt omesso. E' la scrittura integrale per il caso particolare
- s=∫a*t*dt omesso. E' la notazione integrale per la funzione
specifica.
c: Si potrebbe dare come compito il completamento della tabella dalla forma
sintentica differenziale a quella estesa integrale.
Punto di vista matematico e fisico
Da un punto di vista matematico, dato y'=k*x, si puo' sempre calcolare
y=∫k*x*dx, bisogna vedere se ha un significato fisico. Un'operazione
matematica si puo' sempre fare, bisogna vedere se ha significato.
Calcolo integrale in modo particolare
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Disegno un quadrato di lato x e poi uno di lato x+dx. Ispezionando la
figura, la si puo' vedere scomposta: x*dx=(1/2)*dA, ma dA e' proprio dx2. |
Il metodo di risoluzione generale e le risoluzioni fatte in modo particolare
Nel caso del calcolo differenziale-integrale infinitesimale, questo si puo'
riferire ad es al calcolo di integrali applicando un metodo generale o
particolare.
Il metodo di risoluzione generale e' fantastico, ha risolto tutti i problemi,
e' un meccanismo, ma in cio' sta proprio la sua potenza e il suo limite. Il
limite sta nel fatto che non sfrutta gli aspetti particolari del caso in esame,
che potrebbero permettere una soluzione piu' economica. Dal punto di vista del
comprendonio, il fatto di usare un meccanismo rischia di portare alla
meccanicita', cioe' guardare al meccanismo piuttosto che alla comprensione. Ecco
perche' e' utile trovare soluzioni particolari e brillanti a alcuni problemi,
illuminano, producono insight.
∆s =∫v*dt si puo' vedere come conseguenza di
∆s=∫ds l'incremento finito come somma degli
incrementi infinitesimi
ds=v*dt l'incremento infinitesimo come differenziale della funzione
Posizione come integrale della velocita'
se v=k, cioe' v costante, allora ∆s = v*∆t
se v≠k,
cioe' v variabile, allora ∆s =∫v*dt, cioe' non si puo'
piu' calcolare l'incremento di posizione solo tramite la moltiplicazione, ma
bisogna spezzare il moto in una serie di tanti piccoli moti uniformi ∆s=∫ds
dove ogni ds e' ds=v*dt pero' con una v variabile da pezzo a pezzo, un modo
standard di esprimerlo e' ds=v(t)*dt.Se la velocita' e' variabile, allora
puo' variare in un modo qualsiasi, e non si puo' dire quale sia il risultato
dell'integrale. Qui consideriamo il caso particolare piu' semplice di
variabilita', la dipendenza proporzionale
v=k*t velocita' proporzionale al tempo.
v=v(t)=a*t con a=k, allora l'integrale vale ... ∫a*t*dt = (1/2)*a*t2
Energia cinetica, Derivazione usuale
dT=F*dx= (m*a)*(v*dt) = (m*v)*(a*dt) = m*v*dv
Per trovare la derivazione secondo lo standard della tabella, dobbiamo
manipolare le formule, trovando le opportune relazioni.
Alter: dT=F*dx= m*a*v*dt =m*v*dv = p*dv
Alter: dT=F*dx= F*v*dt =F*dt*v = dp*v = d(m*v)*v = m*dv*v = m*v*dv = p*dv
La colonna gravitazionale. Pila di pesi.
>>>
Notazioni
2p = 2*p
Notazioni di variabili e costanti
In ambito elettrico si cerca talvolta di indicare:
- variabili = lettere minuscole
- costanti = lettere maiuscole
in ambiti limitati funziona, ma in generale e' un tentativo che naufraga. Ad
esempio c'e' sempre il problema della leggibilita' della elle minuscola: "l" per
questo volentieri sostituita dalla "L" elle maiuscola; leggibilita' della "i".
v velocita', volume, potenziale elettrico.
Non me la sono sentita di indicare il potenziale elettrico variabile con la
vi minuscola "v". Cosi' nella carica del condensatore elettrico mi ritrovo con
carica e ddp variabili, uno indicato q minuscolo, e l'altro V maiuscolo.
Per evidenziare la dipendenza dalla variabile indipendente
| dy=y'*dx |
dy=y'(x)*dx |
| ds=v*dt |
ds=v(t)*dt |
| dβ=ω*dt |
dβ=ω(t)*dt |
| dU=-F*dx |
dU=-F(x)*dx |
| dT=p*dv |
dT=p(v)*dv |
| dU=V*dq |
dU=V(q)*dq |
|
dU=F*di |
dU=F(i)*di |
| dA=L*dr |
dA=L(r)*dr |
| dU=h*dP |
dU=h(P)*dP |
| dU=P*dh |
dU=P(h)*dh |
Links
La cinematica e il calcolo differenziale
infinitesimale.
Grandezze calcolate come integrali;
elenco.
ix Fisica. Formulario.
Talk
Alter
Questa e' la forma espositiva che avevo scelto come finale.
E' completa di tutti i passaggi espressi col calcolo integrale. Ne ho fatta
una alleggerita, dove e' omessa la notazione integrale.
| y=y(x) |
dy=y'(x)*dx y=∫y'*dx |
y'=k*x |
y=∫k*x*dx |
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| s=s(t) |
ds=v(t)*dt s=∫v(t)*dt |
v(t)=a*t |
s=∫a*t*dt |
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posizione |
| β=β(t) |
dβ=ω(t)*dt β=∫ω(t)*dt |
ω(t)=a*t |
β=∫a*t*dt |
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posizione
angolare |
| U=U(x) |
dU=-F(x)*dx U=∫-F(x)*dx |
F(x)=-k*x |
U=∫k*x*dx |
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|
molla |
| U=U(q) |
dU=V(q)*dq U=∫V(q)*dq |
V(q)=q/C |
U=∫(1/C)*q*dq |
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|
condensatore
elettrico |
| U=U(i) |
dU=F(i)*di U=∫F(i)*di |
F(i)=L*i |
U=∫L*i*di |
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|
induttore
elettrico |
| U=U(P) |
dU=h(P)*dP U=∫h(P)*dP |
h(P)=k*P
h(P)=P/C |
U=∫(1/C)*P*dP |
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|
pila di pesi
|
| U=U(h) |
dU=P(h)*dh U=P(h)*dh |
P(h)=C*h dP=C*dh |
dU=∫C*h*dh |
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|
pila di pesi
|
| A=A(r) |
dA=C(r)*dr A=∫C(r)*dr |
C(r)=2p*r |
A=∫2p*r*dr |
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|
cerchio
circonferenza |
| A=A(L) |
dA=p(L)*dL A=∫p(L)*dL |
p=2*L |
A=∫2*L*dL |
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quadrato
perimetro
p=semiperim |
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| T=T(v) |
dT=p(v)*dv T=∫p(v)*dv |
p(v)=m*v |
T=∫m*v*dv |
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energia
cinetica |
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se v=k |
s= v*t |
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posizione |
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se v=v(t)=a*t con a=k.
oss: v(0)=0 |
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posizione |
| y=y(t) y=y(x) |
∆y=∫dy |
dy=y'*dt dy=y'*dx |
y'=y'(t)
y'=y'(x) |
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| s=s(t) |
∆s=∫ds |
ds=v*dt |
v(t)=a*t |
ds=a*t*dt |
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|
posizione |
| β=β(t) |
∆β=∫dβ |
dβ=ω*dt |
ω(t)=a*t |
dβ=a*t*dt |
|
|
|
posizione
angolare |
| U=U(x) |
∆U=∫dU |
dU=-F*dx |
F(x)=-k*x |
dU=k*x*dx |
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|
molla |
| T=T(v) |
∆T=∫dT |
dT=p*dv |
p(v)=m*v |
dT=m*v*dv |
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|
energia
cinetica |
| U=U(q) |
∆U=∫dU |
dU=v*dq |
v(q)=q/C |
dU=(1/C)*q*dq |
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|
condensatore
elettrico |
| U=U(i) |
∆U=∫dU |
dU=F*di |
F(i)=L*i |
dU=L*i*di |
|
|
|
induttore
elettrico |
| A=A(r) |
∆A=∫dA |
dA=L*dr |
L(r)=2p*r |
dA=2p*r*dr |
|
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|
cerchio
circonferenza |
| U=U(P) |
∆U=∫dU |
dU=h*dP |
h(P)=k*P
h(P)=P/C |
dU=(1/C)*P*dP |
|
|
|
pila di pesi
|
| U=U(h) |
∆U=∫dU |
dU=P*dh |
P(h)=C*h dP=C*dh |
dU=C*h*dh |
|
|
|
pila di pesi
|
| y=y(x) |
y=∫y'*dx |
y'=k*x |
y=∫k*x*dx |
|
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|
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| s=s(t) |
s=∫v(t)*dt |
v(t)=a*t |
s=∫a*t*dt |
|
|
|
posizione |
| β=β(t) |
β=∫ω(t)*dt |
ω(t)=a*t |
β=∫a*t*dt |
|
|
|
posizione
angolare |
| U=U(x) |
U=∫-F(x)*dx |
F(x)=-k*x |
U=∫k*x*dx |
|
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|
molla |
| T=T(v) |
T=∫p(v)*dv |
p(v)=m*v |
T=∫m*v*dv |
|
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|
energia
cinetica |
| U=U(q) |
U=∫V(q)*dq |
V(q)=q/C |
U=∫(1/C)*q*dq |
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|
|
condensatore
elettrico |
| U=U(i) |
U=∫F(i)*di |
F(i)=L*i |
U=∫L*i*di |
|
|
|
induttore
elettrico |
| A=A(r) |
A=∫L(r)*dr |
L(r)=2p*r |
A=∫2p*r*dr |
|
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|
cerchio
circonferenza |
| U=U(P) |
U=∫h(P)*dP |
h(P)=k*P
h(P)=P/C |
U=∫(1/C)*P*dP |
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|
pila di pesi
|
| U=U(h) |
U=P(h)*dh |
P(h)=C*h dP=C*dh |
dU=∫C*h*dh |
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|
pila di pesi
|
| y=y(x) |
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| s=s(t) |
ds=v(t)*dt |
| β=β(t) |
dβ=ω(t)*dt |
| U=U(x) |
dU=-F(x)*dx |
| T=T(v) |
dT=p(v)*dv |
| U=U(q) |
dU=V(q)*dq |
| U=U(i) |
dU=F(i)*di |
| A=A(r) |
dA=L(r)*dr |
| U=U(P) |
dU=h(P)*dP |
| U=U(h) |
dU=P(h)*dh |
Talk
Espo abandoned: s=½at² vs s=(1/2)*a*t2
c: credo che sia meglio la scrittura piu' compatta
Caso di riferimento: s=(1/2)*a*t2 |v0=0 spazio percorso da un moto ad acceleraz costante.
se v=k, cioe' v costante, allora ∆s = v*∆t
se v≠k, cioe' v variabile v=v(t), allora ∆s =∫v(t)*dt. Nel caso v(t)=a*t ∫a*t*dt = (1/2)*a*t2
Analogie non basate sul calcolo integrale, pura forma algebrica
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v=ω*R |
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accelerazione
centripeta |