^^Teoria assiomatica degli insiemi.

Axiomatic set theory

was originally devised to rid of the paradoxes of naive set theory.

Assiomi della teoria degli insiemi

1. ∃ almeno 1 insieme.
   ∃ l'insieme vuoto ∅: non ha elementi.

2. Assioma di uguaglianza (di 2 insiemi)

   2 insiemi sono uguali: hanno gli stessi elementi.
    ∀x x∊A o x∊B ⇒ x∊A e x∊B

3. ∃ la coppia di 2 insieme (che e' un insieme), i cui elementi sono i 2 insiemi. Nella coppia e' possibile replicare lo stesso insieme, che quindi in parole comuni, viene duplicato.
4. ∃ il prodotto cartesiano di 2 insiemi (che e' un insieme)
5. ∃ l'insieme delle parti
6. Assioma di selezione.
7. Assioma della scelta.

∃ almeno 1 insieme. ∃ l'insieme vuoto ∅: non ha elementi.

L'enunciato puo' essere ridotto a: ∃ l'insieme vuoto ∅: non ha elementi. In un trattato formale sarebbe enunciato cosi'. Invece ho voluto fare cosa' per evidenziare che gli assiomi permettono di costruire nuovi insiemi a partire da altri e che quindi da qualcosa bisogna partire. Potremmo chiamarlo "Assioma di esistenza degli insiemi". L'enunciato standard e' "(Assioma di) esistenza dell'insieme vuoto".

"Non ha elementi" assomiglia a "non ha parti" del punto geometrico. Come le figure sono fatte di punti, cosi' gli insiemi sono fatti da tanti insiemi vuoti. Pero' sarebbe potuto essere un qualsiasi cosa, e' per una certa concezione del buon stile assiomatico, che da' priorita' al minor numero di parole, piuttosto che alla maggior chiarezza, che la stessa parola-struttura viene usata per concetti diversi.

Storia

1874 Georg Cantor  fonda la teoria degli insiemi. Richard Dedekind contribuisce.

Leopold Kronecker fonda e contrappone Constructivism: e' nececessario costruire un oggetto matematico per provare che esiste.

Cantorian set theory eventually became widespread, due to the utility of Cantorian concepts, such as

1. one-to-one correspondence among sets, usata per definire che due infiniti sono uguali in numero, cioe' hanno la stessa cardinalita'
2. dimostrazione che la cardinalita' dei nr reali e' maggiore di quella degli interi
3. Cantor's_theorem: la cardinalità dell'insieme delle parti di A è maggiore della cardinalità di A.
   Cantor's theorem had immediate and important consequences for the philosophy of mathematics. For instance, by iteratively taking the power set of an infinite set and applying Cantor's theorem, we obtain an endless hierarchy of infinite cardinals, each strictly larger than the one before it. Consequently, the theorem implies that there is no largest cardinal number (colloquially, "there's no largest infinity").

1900 next wave of excitement in set theory, when it was discovered that some interpretations of Cantorian set theory gave rise to several contradictions, called antinomies or paradoxes.

1922 Zermelo-Fraenkel_set_theory  became the most commonly used set of axioms for set theory. Risolse le contraddizioni stabilendo le costruzioni che era possibile fare, che non portavano a contraddizioni.

Links

esof: Sistema ipotetico deduttivo.

Links wp

1. Set_theory | Zermelo-Fraenkel_set_theory
2. Foundations_of_mathematics
3. Constructivism | Computable
4. L Constructible_universe | V  Von Neumann universe,  approfond
5. CH Continuum_hypothesis
6. Penelope Maddy, ‘Set-theoretic foundations’