^^Espressioni e regole di manipolazione algebrica in uno spazio vettoriale.

anticipiamo il risultato finale che segue dagli assiomi di spvt :

svolgere
somma tra vt, e prodotto esterno
come
somma e prodotto tra numeri reali.

alter: Permanenza delle proprieta' formali di manipolazione algebrica dell'algebra elementare.

L'espressione non deve contenere mai un prodotto tra vt

poiche' non e' definito.

es: uv   espressione non definita poiche' contiene prodotto di vt.

(u+v)w ,  (u+v)(w+x)  idem.

es: sviluppare un'espressione

1.    b(a(u+2v) + 5w) - c(3abu -7w)
2. = b(au + 2av +5w) - 3abcu +7cw
3. = abu + 2abv + 5bw -3abcu +7cw
4. = (ab-3abc)u +2abv + (5b+7c)w

conclu: qualsiasi sia l'espressione iniziale (1), eseguendo tutte le operazioni si arriva sempre ad una somma di prodotti (3 e 4), detta Combinazione lineare;
volendo si possono raccogliere a fattor comune gli scalari (4), ottenendo cosi' una combinazione lineare senza vettori ripetuti.

Rivediamo le regole di manipolazione algebrica elementare

prima gli enunciati, poi le dim

Estensione delle proprieta' ad un nr qualsiasi di elementi

Regola dei segni (o degli opposti) del prodotto
-av  e'  univoco:  -(av) = (-a)v = a(-v)
              -av  ≡  -(av) = (-a)v = a(-v)  

abu  e' univoco, prodotto associativo

dim: cmq si rende operativo: (ab)u o a(bu) il risultato e' =.

Teo: dello zero. Annullamento del prodotto
kx = 0  ⇔  k=0  o  x=0, o entrambi

oss: lo zero "sono 2"  lo 0-scalare e lo 0-vettore. Di solito non usero' piu' il grassetto per distinguere tra scalare e vt, bastera' il contesto.

equi: 

1. 0x = 0   k0 = 0   moltiplicare per 0 produce 0
2. kx = 0  e  k≠0  ⇒  x=0
   kx = 0  e  x≠0  ⇒  k=0

rem: equivale alla legge di cancellazione-semplificazione

• au = bu  ⇒  a=b  se u≠0
• au = av  ⇒  u=v se  a≠0

Links

Il prodotto esterno e' una funzione bilineare tra spvt.

Combinazione lineare.

dimostrazioni

1. f_v: K→V omomorfismo del "gruppo scalari" nel "gruppo vt"

   ∀v∈V  ∃ f_v:a→av ∀a∈K   (a+b)v = av+bv 

2. f_a: V→V omomorfismo nel gruppo vt

   ∀a∈K  ∃ f_a:v→av ∀v∈V   a(u+v) = au+av 

in entrambi i casi:

• img dello zero e' lo zero
• img dell'opposto e' l'opposto.

1. 0v = 0   (-a)v = -(av)   ∀v∈V ∀a∈K.  Vedi anche Kv
2. a0 = 0   a(-v) = -(av)   ∀a∈K ∀v∈V,  Vedi anche Omotetia

Teo: dello zero. Annullamento del prodotto esterno

1. 0u = 0    moltiplicare per 0 scalare, da' vt0
2. k0 = 0    moltiplicare uno scalare per vt0, dà vt0
3. kx = 0    se  k=0  o  x=0, o entrambi
4. kx ≠ 0    se  k≠0  o  x≠0 cioe' moltiplicando vt≠0 con scalare ≠0 ottengo vt≠0.
5. kx = 0     ⇔  k=0  o  x=0  o  entrambi. dim: 3e4
   equi
   kx ≠ 0     ⇔  k≠0   e  x≠0
6. rem: equivale alla legge di cancellazione
   1. au = bu  ⇒  a=b  se u≠0
   2. au = av  ⇒  u=v se  a≠0

    

dim1:

u:K→V  k→ku   è additiva e quindi l'immagine dello zero e' uno zero 0→0u=0.

In dettaglio

1. (a+0)u = au +0u  s*v distributiva su s

2. (a+0)u = au  proprieta' dello 0 del campo

3. au + 0u = au   transitiva uguaglianza

4. 0u = 0   proprieta' gruppo V dei vt

dim2:

a:V→V  x→ax  è additiva e quindi l'immagine dello zero e' uno zero 0→a0=0.

dim3a: ku=0  e k≠0  ⇒  u=0

ku=0   moltiplico entrambi i membri per k^-1 che esiste poiche' k≠0

k^-1(ku)=k^-10

(k^-1k)u=0   1u=0  u=0

dim3b: ku=0  e u≠0    ⇒  k=0

per il momento non so dimostrarlo.

2025-08-16  dim per assurdo

sia u≠0  k≠0   th:  ku=0

k^-1(ku) = k^-10      (k^-1k)u = 0   u=0.

Forse si puo' anche accettare questa logica:

sia k≠0   kx≠0 ⇒ x≠0 ?   NO, assumo cioe' che devo dimostrare.

Soluzione:

anche se sono nel contesto  a→av  KV  che mi induce dimostrarla iniettiva e non riesco, devo invece considerare av data da
l'omotetia v→av  a≠0 che e' iniettiva,
quindi se v≠0 ⇒  av≠a0=0  ,

cioe' a≠0 e v≠0 ⇒  av≠0

cioe' moltiplicando vt≠0 con scalare≠0 ottengo vt≠0.

6.1 au = bu  ⇒  a=b  se u≠0

au - bu = 0

(a-b)u = 0   se u≠0  ⇒  a-b = 0  equi  a=b

6.2  au = av  ⇒  u=v se  a≠0

au - av = 0

a(u-v) = 0  se a≠0  ⇒  u-v = 0  equi  u=v

Links

Anello algebrico.

Alter espo

le manipolazioni algebriche dello spvt si svolgono trattando
la somma tra vt, ed il prodotto esterno come
la somma ed il prodotto tra numeri reali.