^^Espressioni e regole di manipolazione algebrica in uno spazio vettoriale.

anticipiamo il risultato finale che segue dagli assiomi di spvt :

la manipolazione algebrica per gli spvt e' la solita dell'algebra elementare

es: svolgere  somma tra vt, e prodotto esterno
      come       somma e prodotto tra numeri reali.

Avvertenza, attenzione

per proseguire lo studio degli spvt e' sufficiente questa indicazione e l'esempio che segue, ed e' il consiglio poiche' per dettagliare la manipolazione ci sono intricatezze che e' meglio vedere piu' avanti nello studio, quando si e' preso la mano al manipolare, quando sorge qualche dubbio, allora si puo' tornare qui.

L'espressione non puo' contenere un prodotto tra vt

poiche' il prodotto tra vt non e' definito.

es: uv   espressione non definita poiche' contiene prodotto di vt.

(u+v)w ,  (u+v)(w+x)  idem.

es: sviluppare un'espressione

1.    b(a(u+2v) + 5w) - c(3abu -7w)
2. = b(au + 2av +5w) - 3abcu +7cw
3. = abu + 2abv + 5bw -3abcu +7cw
4. = (ab-3abc)u +2abv + (5b+7c)w

conclu: qualsiasi sia l'espressione iniziale (1), eseguendo tutte le operazioni si arriva sempre ad una somma di prodotti (3 e 4), detta Combinazione lineare;
volendo si possono raccogliere a fattor comune gli scalari (4), ottenendo cosi' una combinazione lineare senza vettori ripetuti.

Rivediamo le regole di manipolazione algebrica elementare

prima gli enunciati, poi le dim

Estensione delle proprieta' ad un nr qualsiasi di elementi

Regola dei segni (o degli opposti) del prodotto
-av  e'  univoco:  -(av) = (-a)v = a(-v)
              -av  ≡  -(av) = (-a)v = a(-v)  

abu  e' univoco, prodotto associativo

dim: cmq si rende operativo: (ab)u o a(bu) il risultato e' =.

Lo zero "sono 2"  lo 0-scalare e lo 0-vettore.

nm: Di solito fuori da qui non usero' piu' il grassetto per distinguere tra 0-scalare e lo 0-vettore, bastera' il contesto.

Teo: moltiplicare per 0 produce 0:  0x = 0  e  k0 = 0  

Teo: Annullamento del prodotto

           kx = 0  ⇒  k=0  o  x=0, o entrambi

Falso:  kx ≠ 0  con  k≠0  e  x≠0  

           prodotto nullo con entrambi i fattori ≠0.

equi

kx ≠ 0  ⇒  k≠0  e  x≠0   

equi

kx = 0  e  k≠0  ⇒  x=0
kx = 0  e  x≠0  ⇒  k=0

Teo: "annullamento del prodotto" equivale a
       legge di cancellazione-semplificazione del prodotto

• au = bu  ⇒  a=b  se u≠0
• au = av  ⇒  u=v se  a≠0

Ruolo del'assioma  1v=v

se formalmente permettiamo la scrittura

x+x+x = 3x  qualsiasi sia x, allora i nr interi possono essere presenti-usati in ogni operazione astratta, e quindi essere presenti sia nelle espressioni riguardanti gli scalari che i vettori.  rem: I numeri naturali nei semigruppi.

1v=v permette di interpretare il nr 1 nel suo usuale significato di conteggio, dato che 

3v = (1+1+1)v = 1v + 1v + 1v = v+v+v = 3v

altrimenti se fosse  1v = u ≠ v  si entrerebbe in forma equivoca poiche' 3v sarebbe interpretabile duplicemente come v+v+v  o u+u+u.

dimostrazioni

1. f_v: K→V omomorfismo del "gruppo scalari" nel "gruppo vt"

   ∀v∈V  ∃ f_v:a→av ∀a∈K   (a+b)v = av+bv 

2. f_a: V→V omomorfismo nel gruppo vt

   ∀a∈K  ∃ f_a:v→av ∀v∈V   a(u+v) = au+av 

in entrambi i casi:

• img dello zero e' lo zero
• img dell'opposto e' l'opposto.

1. 0v = 0   (-a)v = -(av)   ∀v∈V ∀a∈K.  Vedi anche Kv
2. a0 = 0   a(-v) = -(av)   ∀a∈K ∀v∈V,  Vedi anche Omotetia

Teo: dello zero. Annullamento del prodotto esterno

1. 0u = 0    moltiplicare per 0 scalare, da' vt0
2. k0 = 0    moltiplicare uno scalare per vt0, dà vt0
3. kx = 0    se  k=0  o  x=0, o entrambi
4. kx ≠ 0    se  k≠0  o  x≠0 cioe' moltiplicando vt≠0 con scalare ≠0 ottengo vt≠0.
5. kx = 0     ⇔  k=0  o  x=0  o  entrambi. dim: 3e4
   equi
   kx ≠ 0     ⇔  k≠0   e  x≠0
6. rem: equivale alla legge di cancellazione
   1. au = bu  ⇒  a=b  se u≠0
   2. au = av  ⇒  u=v se  a≠0

    

dim1:

u:K→V  k→ku   è additiva e quindi l'immagine dello zero e' uno zero 0→0u=0.

In dettaglio

1. (a+0)u = au +0u  s*v distributiva su s

2. (a+0)u = au  proprieta' dello 0 del campo

3. au + 0u = au   transitiva uguaglianza

4. 0u = 0   proprieta' gruppo V dei vt

dim2:

a:V→V  x→ax  è additiva e quindi l'immagine dello zero e' uno zero 0→a0=0.

dim3a: ku=0  e k≠0  ⇒  u=0

ku=0   moltiplico entrambi i membri per k^-1 che esiste poiche' k≠0

k^-1(ku)=k^-10

(k^-1k)u=0   1u=0  u=0

dim3b: ku=0  e u≠0    ⇒  k=0

per il momento non so dimostrarlo.

2025-08-16  dim per assurdo

sia u≠0  k≠0   th:  ku=0

k^-1(ku) = k^-10      (k^-1k)u = 0   u=0.

Forse si puo' anche accettare questa logica:

sia k≠0   kx≠0 ⇒ x≠0 ?   NO, assumo cioe' che devo dimostrare.

Soluzione:

anche se sono nel contesto  a→av  KV  che mi induce dimostrarla iniettiva e non riesco, devo invece considerare av data da
l'omotetia v→av  a≠0 che e' iniettiva,
quindi se v≠0 ⇒  av≠a0=0  ,

cioe' a≠0 e v≠0 ⇒  av≠0

cioe' moltiplicando vt≠0 con scalare≠0 ottengo vt≠0.

6.1 au = bu  ⇒  a=b  se u≠0

au - bu = 0

(a-b)u = 0   se u≠0  ⇒  a-b = 0  equi  a=b

6.2  au = av  ⇒  u=v se  a≠0

au - av = 0

a(u-v) = 0  se a≠0  ⇒  u-v = 0  equi  u=v

Links

Anello algebrico.

Alter espo

le manipolazioni algebriche dello spvt si svolgono trattando
la somma tra vt, ed il prodotto esterno come
la somma ed il prodotto tra numeri reali.