^^Omotetia ≡ dilatazione (isotropa) di uno spvt.

Omotetia ≡ dilatazione (isotropa) di uno spvt:
v→av f_a:V→V   moltiplicare ogni vt per un fissato scalare

omotetia v→av e' un isomorfismo dello spvt ,
v→a^-1v  l'inverso.  (fattore ≠ 0
Le omotetie sono uno spvt.

Teo: 1) la somma di 2 omotetie e' una omoteria.
es:  5v+2v = 7v
2) La moltiplicazione di una omoteria per uno scalare e' un'omotetia.

Interpretaz della proprieta' fondativa (ab)v = a(bv) 
La composizione di 2 omoterie e' una omoteria.
Comporre e moltiplicare per uno scalare si equivalgono.

e' commentata come: compatibilita' tra prodotto esterno e del campo,
vediamone il senso.

v→a(bv) interpretabile come composizione di 2 trasformazioni di V:

v→bv  seguita da  bv→a(bv).

E' uguale alla trasformazione di V

v→(ab)v   poiche' per assioma fornisce lo stesso risultato.

Quindi:

• ad un elemento "a" del campo corrisponde un operatore f_a su V
• f_a∘f_b = f_ab  la moltiplicazione nel campo e' isomorfa alla composizione degli operatori

L'omotetia e' una delle funzioni sezione del prodotto esterno dello spvt.

Procediamo a dimostrare i pezzi componenti la dim.

1. f_a:V→V  v→av  e' una funzione lineare
2.                      e' biiettiva e
3. f_(a^-1) ≡ a^-1:V→V  v→a^-1v  a≠0, e' la funzione inversa
4. f₀:V→{0}⊆V  v→0v = 0

dim1: f_a:V→V  v→av e' una funzione lineare

a(u+v) = au+av   additiva

a(mu) = (am)u = (ma)u =m(au)   omogenea

oss: per dimostrare omogenea e' necessaria la commutativita' della moltiplicazione del campo.

v→av    e' invertita da  v→a^-1v  a≠0
v→a^-1v  e' invertita da  v→av    a≠0

dim: x → ax → a^-1(ax) = (a^-1a)x = 1x = x.

dim: x → a^-1x → a(a^-1x) = (aa^-1)x = 1x = x.

OSS: notiamo esplicitamente il ruolo svolto dall'assioma 1x=x: determina che

l'omotetia prodotta da uno scalare ha l'inversa prodotta dal reciproco dello scalare.

v→av  e' iniettiva

dim: e' una conseguenza di essere invertita da v→a^-1v, per capirlo a fondo occorre aver chiaro il tema funzione iniettiva suriettiva biiettiva e loro condizioni, ma diamo anche dim piu' diretta.

dim2:  immagini potenzialmente uguali  av = aw  e  a≠0  ⇒  v=w  legge di cancellazione.

v→av  e' suriettiva

dim: e' una conseguenza di invertire v→a^-1v, per capirlo a fondo occorre aver chiaro il tema funzione iniettiva suriettiva biiettiva e loro condizioni, ma diamo anche dim piu' diretta.

dim2:  un generico vettore x dello spvt ha come controimg   a^-1x,
infatti a(a^-1x) = (aa^-1)x = 1x = x

dirlo: v→kv  f_k:V→V

1. moltiplicazione di uno scalare fissato per ogni vt
2. moltiplicazione per uno scalare (dei vettori)
3. moltiplicazione di ogni vt per lo stesso scalare

1. moltiplicazione di un fissato scalare per ogni vt
2. moltiplicare un fissato scalare per ogni vt
3. un fissato scalare moltiplica ogni vt

rem: Verbale e nominale: 2 modi di dire-pensare.

moltiplicare ogni vt per un fissato scalare

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Funzione inversa (di una funzione).