^^Anello algebrico. Dominio d'integrita'.

wp/Noncommutative_ring (Redirected from Noncommutative algebra)

wp/Ring_(mathematics)

Anello   insieme dotato di 2 op binarie: somma e moltiplicazione

1. (A,+) e' un gruppo additivo commutativo
2. (A,*) e' un semigruppo
3. moltiplicazione distributiva rispetto all'addizione
   a(b + c) = ab + ac   distributiva sx ∀a,b,c ∈R
   (a + b)c = ac + bc   distributiva dx  ∀a,b,c ∈R

There is no consensus in the community as to whether the existence of a multiplicative identity must be one of the ring axioms.

• to include a requirement a multiplicative identity: "unital ring", "unitary ring", "unit ring", "ring with unity", "ring with identity", "ring with a unit","ring with 1"
• to omit a requirement for a multiplicative identity: "rng" or "pseudo-ring", although the latter may be confusing because it also has other meanings.

Esempi canonici

1. i nr interi sono un anello
2. i nr interi pari sono un anello senza unita'
3. i nr interi modulo n

Storia

1921, Emmy Noether gave a modern axiomatic definition of commutative rings (with and without 1) and developed the foundations of commutative ring theory in her paper Idealtheorie in Ringbereichen.

wp/Ring_(mathematics)#History

"Divisori dello 0"  ab=0 ∧ a,b≠0

2 elementi con prodotto 0, pur essendo  ≠0.

Detto senza abuso: una coppia di divisori dello zero diversi da zero.

L'anello Z_n degli interi modulo n non primo, ha divisori dello zero.

es: Z₆  3*2=0

Regole di manipolazione algebrica

Legge di annullamento del prodotto

ab=0  ⇒  a=0 ⋁ b=0  

se il prodotto e' 0 allora almeno uno dei fattori e' 0.

Proprieta' di cancellazione

sx:  ab = ac  ⇒  b=c   se  a ≠ 0

dx:  ba = ca  ⇒  b=c   se  a ≠ 0

Teo: equivalgono

1. legge di annullamento del prodotto
2. proprieta' di cancellazione

dim: 1. ⇒ 2.

ab = ac   ab-ac=0   a(b-c)=0  ⇒  b-c=0   b=c

ba = ca   ba-ca=0   (b-c)a=0  ⇒  b-c=0   b=c

dim: 2. ⇒ 1. 

ab=0    se a≠0  a0=0   ab=a0   b=0 cancellaz sx

ab=0    se b≠0  0b=0   ab=0b   a=0 cancellaz dx

Dominio. Dominio d'integrita'. Integral domain.

Dominio d'integrita'

anello commutativo, dotato di unita', senza divisori dello zero.

rem: senza divisori dello zero, equi:

• vale la legge di annullamento del prodotto
• vale la proprieta' di cancellazione

Integral domains are generalizations of the ring of integers and provide a natural setting for studying divisibility.

wp/Integral_domain, wp/Dominio_d'integrità

Links

Spazio vettoriale.

Talk

Per precisione

a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) ∀a,b,c ∈R (left distributivity).
(b + c) ⋅ a = (b ⋅ a) + (c ⋅ a)  ∀a,b,c ∈R (right distributivity).