^^Funzionale lineare, forma lineare. Spazio duale di uno spvt.

funzionale lineare (su uno spazio vettoriale)

una funzione a valori nel campo dello spvt

f:V→K     f(x+y) = f(x)+f(y)

   f(kx) = kf(x)

   additiva

  omogenea 

\

/

  ≡ lineare

Se considerriamo il campo come spvt, allora il funzionale lineare e' una funzione lineare secondo la def generale di funzione lineare tra spvt.

Siccome gli elementi del campo vengono detti "scalari", si puo' dire che "i funzionali sono funzioni scalari", appunto nel senso che i loro valori sono valori scalari.

Es funzionali lineari

  1. La funzione costante a 0 e' un funzionale lineare;

    ogni altro funzionale lineare e' suriettivo, cioe' il suo range e' tutto K.

  2. Le funzioni sezione di un forma bilineare sono funzionali lineari.

V* spvt duale di uno spvt V

V* ≡ FunLin(V→K)  spazio funzionale dei funzionali lineari sullo spvt V.

nm: spvt duale

la tradizione ha trovato conveniente usare una nomenclatura caratterizzata dal simbolo asterisco per caratterizzare i simboli che si riferiscono allo spazio duale

V*   spvt duale di uno spvt V

f* g*  elementi di V*, che come funzioni sarebbero normalmente indicati f g.

 

Funzionale lineare che da' una coordinata

fissata una base, ogni vt  x= ∑ xjej

e*J: x→xj  V→K   funzionale lineare associa ad ogni vt una sua fissata coord.

dim: e' lineare.  Qual e' il modo migliore di dimostrarlo?

 

nm: diamo a questi funzionali che danno una coord, la stessa lettera dei vt della base, con un modificatore *, che puo' confondere con la moltiplicaz, ma e' usanza.

In tutto i funzionali sono tanti quanti i vt di base.

Ogni vt si puo' riscrivere   x=  ∑j e*j(x)ej

detto semplicemente: un vettore si puo' scrivere come cl di una base, i cui coeff sono forniti dai funzionali associati alla base.

NotaBene: e*1 depends on the entire basis {ej} and not only on e1, as itmight appear from
the notation e*1 . In other words, e*1 is not a result of some “star” operation applied only to e1. The covector e*1 will change if we change e2 or any other basis vector. This is so because the component v1 of a fixed vector v depends not only on e1 but also on every other basis vector ej .

Calc img di una fun lin f:V→W coi funzionali

si tratta di rifare quanto gia' fatto con le cl della base

rem:  x = ∑ xjej   f(x) = f(∑ xjej ) = ∑ xjf(ej)

novita': scrivere i coeff cl come valori dei funzionali

x = ∑ e*j(x)ej      f(x) = f(∑ e*j(x)ej ) = ∑ e*j(x)f(ej) 

Calc img funzionale generico f*:V→K coi funzionali base

f*(x) = f*(∑ e*j(x)ej ) = ∑ e*j(x)f*(ej) 

   f*                           =  ∑ e*jf*(ej) 

Per chiarezza f*(ej) ≡ Φj , sono scalari e non dipendono dal vt che rappresentano, cioe' sono costanti al variare di x; riscriviamo

f*(x)  = ∑ Φje*j(x)    ∀x∈V   uguaglianza di tutti i valori di 2 funzioni

     f* =  ∑ Φje*j        e' uguaglianza tra le funzioni

quindi tutti i covettori sono cl dei funzionali e*j

Corollario: i funzionali base sono un sistema di generatori di tutti i funzionali.

 

rem: δij   delta di Kronecker   δii = 1, e 0 negli altri casi:  δij = 0  se i≠j.

cl base dante i vt base. I valori dei funzionali per dare i vt base

ei = ∑ δijej     ei = ∑j e*j(ei )ej    ⇒   e*j(ei ) = δij

Teo:   e*i(ej ) = δij      

Teo: i funzionali associati alla base sono una base per lo spvt duale.

 

 

 

 

 

 

 

Teo: la codimensione del nucleo di un funzionale lineare e' 1, f0 a parte.

Teo:  F(V→K) spvt dei funzionali lineari e' isomorfo a V

in particolare hanno la stessa dimensione.

dim:

1) F(V→K) e' spvt. Caso particolare di Spazio vettoriale delle funzioni lineari tra 2 spazi vettoriali.