Applicazione bilineare, multilineare.
forma bilineare (su uno spazio vettoriale V)
| B(u,v) = B(v,u) | ∀ u,v∈V | symmetric bilinear form |
| B(v,v) = 0 | ∀ v∈V | alternating bilinear form |
| B(u,v) = -B(v,u) | ∀ u,v∈V | antisymmetric bilinear form |
La forma bilineare puo' essere guardata come un prodotto,
qualificato "prodotto scalare" poiche' il risultato e' uno scalare cioe' un
elemento del campo.
Il risultato del prodotto scalare di 2 vt non e' un vettore, bensi' uno scalare.
λuv := (λu)v = λ(uv) = u(λv)
xy = xy + yx
2
+ xy - yx
2
| xy + yx 2 |
componente simmetrica |
|
| xy - yx 2 |
componente antisimmetrica |
e' la forma bilineare ristretta alla diagonale del prodotto cartesiano.
1) e' un funzionale omogeneo di grado 2, cioe' f(tv)= t²f(v)
dim: Q(tv) = B(tv,tv) = t2*B(v,v) = t2*Q(v).
2) Non e' additiva
Q(u+v)= B(u+v,u+v) = B(u,u)+B(u,v)+B(v,u)+B(v,v)
= Q(u)+Q(v)+B(u,v)+B(v,u)
detto coi funzionali sezione
x→B(0,x) e' il funzionale costante a 0
x→B(x,0) e' il funzionale costante a 0
dim:
B(0,v)=0 ∀v dim: x→B(x,v) e' additiva, img(0)=0.
B(u,0)=0 ∀u dim: x→B(u,x) e' additiva, img(0)=0.
l'unico vettore ortogonale a tutti i vt e' vt 0
B(u,v)=0 ∀v ⇒ u=0
equi
B(0,v)=0 ∀v accade solo con lo 0.
∃u≠0: B(u,v)=0 ∀v da' gli stessi risultati dello 0.
Detto coi funzionali sezione
x→B(0,x) e' l'unico funzionale costante a 0
cioe': x→B(u,x) = x→0 ⇒ u=0
il prodotto scalare in Rn .
il prodotto č comb lin dei prodotti di tutte le coppie dei vt base.
I prodotti tra tutte le coppie ordinate di elementi di una base determina tutti i prodotti; analogo a Algebra su un campo.
dim: 1) calc prodotto di 2 elementi qualsiasi x y, idea:
2) scriviamoli come comb lin di una base: x= ∑xiei y= ∑yiei
3) calc prodotto xy= (∑xiei )(∑yiei) =
= ∑ij xiyjeiej conseguenza della bilinearitą del prodotto.
In particolare, l'usuale prodotto tra i numeri reali, nell'ipotesi di validita' delle varie proprieta', e' determinato dal valore del prodotto dei numeri con se stessi; il valore del prodotto di 2 numeri qualsiasi e' determinato dal valore dei loro quadrati.
dim: quadrato del binomio
(x+y)² = x² + y² + 2xy
| xy | = | (x+y)² - x² - y²
2 |
questo risulta si puo' generalizzare a
xy = (x+y)² - x² - y²
2
B(x,y) = Q(x+y) - Q(x) - Q(y)
2
<x,y> = ∥x+y∥2 -∥x∥2 -∥y∥2
2
polarization identity =
<x+y,x+y> -<x,x> -<y,y>
2
dim: riscrivo la dim con 4 notazioni diverse.
Q(a+b) ≡ B(a+b,a+b) def of quadratic of the bilinear
Q(a+b) = B(a,a) + B(a,b) +B(b,a) + B(b,b) bilinearity
B(a,b) + B(b,a) = Q(a+b) -Q(a) -Q(b)
2B(a,b) = Q(a+b) - Q(a) - Q(b) if symmetric bilinear form
se il campo dello spazio vt ha caratteristica ≠2 si puo dividere per 2
B(a,b) = ½( Q(a+b) - Q(a) - Q(b) )
∥x+y∥2 = <x+y,x+y>
= <x,x>+<x,y>+<y,x>+<y,y>
= ∥x∥2+2<x,y>+∥y∥2 quadratic & symmetry
2<x,y> = ∥x+y∥2 -∥x∥2 -∥y∥2
sviluppo il quadrato del binomio
(a+b)2 = (a+b)(a+b) = aa + ab + ba + bb
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (ref: Quadrato del binomio.)
2ab = (a+b)2 - a2 - b2
ab = ½( (a+b)2 - a2 - b2 )
<(a+b),(a+b)> = <a,a>+<a,b>+<b,a>+<b,b>
<(a+b),(a+b)> = <a,a>+2<a,b>+<b,b>
2<a,b> = (a+b)2 - a2 - b2 .
<a,b> = ½( (a+b)2 - a2 - b2 )
cioe': Una forma quadratica genera una forma bilineare simmetrica definita da:
| B(x,y) | = | Q(x+y) - Q(x) - Q(y)
2 |
se Q e' una funzione qualsiasi, B non e' bilineare.
Per dimostrare B bilineare, Q deve avere certe proprieta', le proprieta' di una forma quadratica.
Si puo' inquadrare la situazione come:
definire esattamente cosa sia "forma quadratica" indipendentemente dalla sua
definizione derivata da "forma bilineare" (Q(v):=B(v,v)).
In termini di richiesta astratta su Q, dovrebbe far discendere le proprieta' di bilinearita' di B
es: x(y+z) = xy+xz
che tradotto secondo la def, risulta
( (x+y+z)² -x² -(x+y)² )/2 =
((x+y)² -x² -y²)/2 + ((x+z)² -x² -z²)/2,
Ma il discorso si fa complesso, e lo abbandono.
Teo: Le forme bilineari simmetriche e le forme quadratiche (su uno stesso spazio vettoriale, con Kampo di caratteristica ≠2) si equivalgono, da una si ricava l'altra.
e' l'ambiente piu' generale per parlare di ortogonalitą.
xy= (∑xiei )(∑yiei) = ∑ij xiyjeiej
= ∑i xiyiei2 se eiej=0 ∀i,j i≠j
base ortogonale fatta di vettori mutuamente ortogonali
vettori ortogonali <u,v>=0 e <v,u>=0 il loro prodotto scalare = 0
coordinate ortogonali di una base ortogonale
Per parlare di ortogonalita' come proprieta' simmetrica, deve essere
<u,v>=0 e <v,u>=0.
Orthogonalization given a linearly independent set of vectors, construct orthogonal vectors that span the same space.
Orthogonalization is possible with respect to any symmetric bilinear form (not necessarily an inner product, not necessarily over real numbers), but standard algorithms may encounter division by zero in this more general setting.
wp/Orthogonality | wp/Orthogonal_basis | wp/Orthogonal_coordinates
si puo' sviluppare una teoria simile a quella per la forma forma bilineare.
| <x,y> = | ∥x+y∥2 -∥x∥2 -∥y∥2
2 |
|
polarization identity | ||
|
|||
| Q:V→K v→Q(v)=B(v, v) | quadratic form of the bilinear form | |
| B(u,v) = B(v,u) | ∀ u,v∈V | symmetric bilinear form |
| B(v,v) = 0 | ∀ u,v∈V | alternating bilinear form |
| B(u,v) = -B(v,u) | ∀ u,v∈V | antisymmetric bilinear form |
| B(u,v)=0 ∀v ⇒ u=0 | non degenerate bilinear form | |
symmetric bilinear form
B(u,v) = B(v,u) ∀ u,v∈V
quadratic form of the bilinear form
Q:V→K v→Q(v)=B(v, v)
alternating bilinear form
B(v,v) = 0 ∀ v∈V
antisymmetric bilinear form
B(u,v) = -B(v,u) ∀ u,v∈V