^^Algebra su un campo.

1. Algebra (su un campo)
   • e' uno spazio vettoriale in cui i vt sono dotati di un prodotto bilineare.
2. Algebra associativa
   • il prodotto e' associativo genera un anello, ma poi la terminologia non e' univoca, come per gli anelli, poiche' c'e' chi considera con o senza unita'.
3. Algebra non associativa    il prodotto non e' associativo
4. Algebra unitaria, unital, unitary   
   • esiste l'unita' della moltiplicazione dell'algebra

Algebra e' fatta da 4 parti (V, K, *:KxV→V, *:VxV→V)

1. vettori: V un gruppo commutativo (in nomenclatura additiva)
2. scalari: K un campo
3. prodotto KxV→V di uno scalare per un vt e' un vt, detto prodotto esterno (per distinguerlo dal prodotto del campo).
4. prodotto vettoriale VxV→V di un vt per un vt e' un vt

4 proprietà del prodotto esterno, per farlo spazio vt

1. a(u+v) = au+av      distributiva sui vt
2. (a+b)v = av+bv      distributiva sugli scalari
3. (ab)v = a(bv)      compatibilita' tra prodotto esterno e del campo
4. 1v=v      l'unita' del campo, lo e' anche per il prodotto esterno

il prodotto vettoriale dell'algebra e' bi-lineare

1. u(v+w) = uv+uw    additivo sx       |
2. u(kv) = k(uv)         omogeneo sx    | lineare sx
3. (u+v)w = uw+vw    additivo dx     | 
4. (ku)v = k(uv)         omogeneo dx  | lineare dx

Proprieta'-Teoremi di un'algebra

1. 0*x=0 ∀x  zero per qualsiasi elemento fa zero; quindi
   0*x=a≠0    equazione senza soluzioni. Nel contesto della Divisione si puo' interpretare: "la divisione con zero non e' definita"

Non confondere

1.        prodotto bilineare dell'algebra
2. con  forma bilineare di uno spazio vettoriale (es prodotto scalare)

1 e' nello spazio dei fattori

2 e' nel campo dei coefficienti

Teo: prodotto dell'algebra rappresentato con una base, con le coordinate

• i prodotti tra tutte le coppie ordinate di elementi di una base dell'algebra determina tutti i prodotti

dim: 1) calc prodotto di 2 elementi qualsiasi x y, idea:

2) scriviamoli come comb lin di una base: x= ∑x_ie_i   y= ∑y_ie_i   

3) calc prodotto  xy= (∑x_ie_i )(∑y_ie_i) = ∑_ij x_iy_je_ie_j

e' una comb lin dei prodotti di tutte le coppie dei vt base.

nm: x_iy_j coefficienti della struttura

Viceversa

scelti a piacere i prodotti delle coppie di elementi di una base scelta a piacere, si puo' estendere il prodotto a tutti gli elementi dell'algebra in un unico modo rispettando le regole dell'algebra, e il risultato e' un'algebra (poiche' il prodotto cosi' definito rispetta le regole dell'algebra).

Links

1. Algebra.
2. wp/Algebra_over_a_field
3. wp/Bilinear_map

Algebra con divisione. Division algebra. wp

algebra con divisione

an algebra over a field in which division is always possible (except by zero).

Esempi esenti dalle diverse terminologie

1. Se il prodotto dell'algebra genera un corpo, e' un'algebra associativa con divisione
2. Numeri reali, complessi, quaternioni, ottonioni.