^^Relazioni tra le estensioni spaziali 123D delle figure simili.

Una figura si puo' considerare la FIGURA UNITA', nel senso che la sua estensione 123d, fa da unita' di misura per le estensioni.
Esiste una relazione tra le estensioni ed e':

Figura Estensione
    L   A V
1
figura unita'
1 1 1
2 2 2^2 2^3
3 3 3^2 3^3
4 4 4^2 4^3
5 5 5^2 5^3
...
n n n^2 n^3

qui e' esemplificata per i numeri interi (numero di volte), cioe' per le grandezze discrete.
Vale l'estensione ai numeri frazionari, cioe' alle grandezze continue.

Relazione tra le estensioni spaziali 123D delle figure simili.

L=k*L0 se le lunghezze variano di un fattore k 
allora
A=k2*A0 - le aree variano di un fattore k2
V=k3*V0 - e i volumi variano di un fattore k3
  - e gli angoli non variano.
es: se le lunghezze di un fabbricato aumentano tutte del 10%  (k=1,1)
- allora le aree variano circa del 20% 
- e i volumi del 30%

Confronto espresso con le variazioni relative (delle estensioni della figura passando alla figura proporzionale)

Relazione tra le estensioni spaziali 123D delle figure simili.

ΔL/L=k se le variazioni relative di lunghezza sono costanti a k 
allora, con errore minore del 1% se k<0,1
ΔA/A=2*k - le variazioni relative di area sono costanti a 2*k
ΔV/V=3*k - e le variazione relative di volume sono costanti a 3*k
  - e gli angoli non variano.
es: se le lunghezze di un fabbricato aumentano tutte del 10%  (k=0,1)
- allora le aree variano circa del 20% (kA=0,2)
- e i volumi del 30% (kV=0,3)

Dimostrare che dalla prima riga segue la seconda.
Ipotesi: ΔL/L=k
(1) A1= a*b. Scritto in lungo sarebbe a1*b1
(2) A2= a2*b2 = (a+da)*(b+db) = a*b + a*db + da*b + da*db
(3) ΔA= A2 - A1 =  a*db + da*b + da*db = a*k*b + k*a*b + k*a*k*b = 2*k*a*b + k2*a*b = 2*k*A1 + k2*A1
(4) ΔA/A = 2*k + k2 
(5) se k<0,1 allora dA/A = 2*k , con un errore minore di 0,01

c: Questa dimostrazione e' bella fatta geometricamente con il rettangolo.

Relazioni tra le estensioni spaziali 123D

- quando cambia la scala
- quando cambia la figura in proporzione

Estensione
    L A V
Figura A LA AA VA
B LB AB VB

Fattori di aggiustamento

S=FSL*L L=FLS*S  
V=FVL*L L=FLV*V
V=FVS*S S=FSV*V

Se lunghezza e superficie fossero proporzionali sarebbe
S2/L2=S1/L1
invece
S2/L2=(S1/L1)*(L2/L1)

S=K*L^2
V=K*L^3

dida: un modo di capire presentato da alcuni ragazzi, e' quello attraverso le formule, per quelli che credono a cio' che dicono le formule.

Dati98:
figura cubo di lato 1 dm
figura cubo di lato 2 dm
Se si raddoppia gli spigoli, il cubo assume un volume 8 volte piu' grande ed un'area di 4 volte piu' grande  A=l^2  V=l^3.
c: per ricordarci le unita' di misura spaziali, nel cubo di lato 1 abbiamo anche l'area unitaria e il volume unitario. Per fissare le idee su un caso conviene prendere come figura iniziale il cubo unitario, di modo che il confronto e' immediato, poiche' e' dato dal valore determinato dalla formula, senza bisogno di rapporto.

Fattori di aggiustamento tra variabili omogenee

es: se il lato varia di un fattore 2, lo stesso per le diagonali.
I fattori di aggiustamento sono significativi al contrario degli addendi di aggiustamento poiche' sono gli stessi per tutte le misure 123d corrispondenti tra loro nelle 2 figure

Ordinamento figure simili.

Le figure simili tra loro sono ordinabili in una successione continua.
La successione puo' essere considerata
- a livello topologico con l'inclusione di una figura nell'altra
- a livello metrico con gli ordinamenti delle estensioni 123d, che risultano concordi e quindi isomorfi.
L'ordinamento non ha un minimo, che possiamo chiamare zero, e non ha massimo.
Il limite inferiore delle estensioni e' zero, il limite superiore e' infinito.

RAPPORTI TRA LE ESTENSIONI
I rapporti tra le estensioni invece, pur diventando piccole le estensioni, non sono piccoli.

Quantificazione dell'ordinamento

Argomenti associati

Cambiamenti di scala.
Teoria delle proporzioni.
Teoria della similitudine
Legame tra le dimensioni e le proporzioni.
Ordini di grandezza e rapporti.

Versione a caratteri fissi e tabella trasposta

m1d: 1    2    3    4    5         n
m2d: 1    2^2  3^2  4^2  5^2       n^2
m3d: 1    2^3  3^3  4^3  5^3       n^3
Figura Estensione
  L A V
1 1 1 1
2 2 2^2 2^3
3 3 3^2 3^3
4 4 4^2 4^3
5 5 5^2 5^3
...
n n n^2 n^3

Didattica >>>

Links

  1. Disegnare le figure raddoppiate di lunghezza in modo da poterne vedere area e volume.
  2. Tabella di sistemi e variabili.
  3. Estensione della figura dilatata.
  4. Scrivere tb LAV per un cubo variabile, e i suoi differenziali.

Domande

325 Perche' secondo Galileo i giganti non possono esistere? Poiché un gigante lungo 10 volte, ha: 6
- volume = 10^3 volte, e di conseguenza il suo peso 2
- area sezione ossa = 10^2 volte, e di conseguenza il peso sopportabile  2
- conclusione: le ossa non possono reggere il peso 2