^^Una somma di numeri tendenti a zero, puo' essere infinita !

Una successione di addendi → 0, puo' avere:

 

Non e' scontato, come accade per la serie geometrica, che infiniti numeri sempre piu' piccoli tendenti a zero, assommino ad un valore, puo' accadere che la somma tenda all'infinito.

Pur essendo una serie di numeri -> 0, la somma cresce senza limiti.

E' contro l'intuizione: La somma di numeri sempre piu' piccoli tendenti a zero, ha pero' una somma che diventa sempre piu' grande, tendente all'infinito.

 

Per rimarcare la sommabilita', si dice che assommano ad un valore finito.

 

Una somma di numeri tendenti a zero, puo' essere infinita !

altrettanto sconcertante di:

una somma infinita di numeri puo' essere finita !

Come puo' succedere ?

Una somma di numeri tendenti a zero, puo' essere infinita !

E' cosi' per tutte le serie che non divergono banalmente. Nel caso della serie armonica i numeri sono i piu' semplici possibile, e quindi ci si puo' concentrare sull'aspetto di interesse.

Teo: CN perche' una serie converga e' che gli addendi tendano a zero.

dim: se non tendono a 0, esistono infiniti addendi maggiori di un numero > 0, e quindi la loro somma e' ∞.

E' importante capire come sia possibile che numeri sempre piu' piccoli (tendenti a 0) diano una somma sempre piu' grande, piu' grande di ogni limite.

Oss:

 

Dida:

Quando si mostra una serie convergente per la prima volta, e scolasticamente io trovo conveniente la 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... serie geometrica base 1/2, e' opportuno mostrare subito che il tendere a zero degli addendi non e' condizione sufficiente per la sommabilita'.

Dirlo

  1. I numeri diventano sempre piu' piccoli, ma la somma cresce senza un limite superiore.
  2. Anche se numeri diventano sempre piu' piccoli, la somma cresce senza un limite superiore.
  3. Numeri tendenti a zero possono avere una somma infinita
    c: "numeri tendenti a 0" e' espressione un po' brutta
  4. una successione di numeri tendente a zero, puo' avere una somma infinita

     

 

Links. Arrivi:

1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... serie geometrica base 1/2

∑ 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + ...  = +∞   serie armonica.