Una successione di addendi → 0, puo' avere:
Non e' scontato, come accade per la serie geometrica, che infiniti numeri sempre piu' piccoli tendenti a zero, assommino ad un valore, puo' accadere che la somma tenda all'infinito.
Pur essendo una serie di numeri -> 0, la somma cresce senza limiti.
E' contro l'intuizione: La somma di numeri sempre piu' piccoli tendenti a zero, ha pero' una somma che diventa sempre piu' grande, tendente all'infinito.
Per rimarcare la sommabilita', si dice che assommano ad un valore finito.
altrettanto sconcertante di:
una somma infinita di numeri puo' essere finita !
Come puo' succedere ?
E' cosi' per tutte le serie che non divergono banalmente. Nel caso della serie armonica i numeri sono i piu' semplici possibile, e quindi ci si puo' concentrare sull'aspetto di interesse.
dim: se non tendono a 0, esistono infiniti addendi maggiori di un numero > 0, e quindi la loro somma e' ∞.
E' importante capire come sia possibile che numeri sempre piu' piccoli (tendenti a 0) diano una somma sempre piu' grande, piu' grande di ogni limite.
Quando si mostra una serie convergente per la prima volta, e scolasticamente io trovo conveniente la 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... serie geometrica base 1/2, e' opportuno mostrare subito che il tendere a zero degli addendi non e' condizione sufficiente per la sommabilita'.
una successione di numeri tendente a zero, puo' avere una somma infinita