^^Funzione inversa (di una funzione biiettiva).

la funzione inversa di una funzione biiettiva f:X→Y e' g:Y→X, tale che:

• g(f(x)) = x  ∀x∈dom(f)   cioe'   g∘f=I
  la composizione a sx con f e' uguale all'Identita'.
• le coppie ordinate costituenti  sono quelle di f invertito l'ordine degli elementi.
  (x,y)∘(y,x) = (x,x)

Indicata  f^-1    f^-1(f(x)) = x  ∀x∈dom(f)

dim: dimostrare l'esistenza di f^-1

rem: biiettiva :=  ∀y∈Y ∃!x∈X:  (x,y)∈f 

(y,x)∈f^-1  :=  (x,y)∈f  cosi' definita f^-1 e' una relazione

definita su tutto Y ed univoca, quindi e' una funzione Y→X

Dirlo

1. la funzione inversa esiste per le funzioni biiettive, e non per le altre.
2. una funzione biiettiva f ha la funzione inversa g tale che:
   g(f(x)) = x  ∀x∈dom(f)

Condizione simile alla funzione inversa, ma non equivalente

data la funzione f:X→Y ∃g:Y→X, tale che:

• g(f(x)) = x  ∀x∈dom(f)   cioe'   g∘f=I
  la composizione a sx con f e' uguale all'Identita'.

Anche in questo caso verrebbe di parlare di "funzione inversa di un'altra" poiche' applicata al risultato lo riporta al suo valore originale, ma si e' scelto diversamente e spiego perche'.

rob:  funzione parziale inversa

Ci sono piu' aspetti collegati tra loro, qui li elenco

1. Formalmente la funzione e' definita da una terna  (dom, cod, f)
2.  

Formalmente la funzione e' definita da una terna  (dom, cod, f)

f:N→N  n→2n   iniettiva ma non suriettiva, formalmente (N,N,{n,2n})

se restringiamo il codominio ai nr pari otteniamo una funzione anche suriettiva, ma non e' piu' quella di prima poiche' formalmente e' (N,P,{n,2n}), anche se ci sembra la stessa funzione poiche per entrambe

n→2n ∀n∈N   cioe' i grafici delle 2 funzioni sono uguali, ma i piani XxY che le contengono sono diversi.

Teo: f e g endofunzioni di ugual dominio e'

f:N→N  n→2n   endofunzione iniettiva ma non suriettiva

f(N) ≡ range(f) ≡ P insieme dei nr pari

f e' iniettiva ma non suriettiva; ovviamente e' suriettiva sul suo range.

g:P→N  g(p):= p/2  g(P) ≡ range(g) ≡ N insieme dei nr naturali

g e' iniettiva e suriettiva.

E' per definizione la funzione inversa di f, le coppie ordinate che la costituiscono sono state scambiate di posto.

h:N→N  h(2n) e h(2n+1) := p/2  h e' un'estensione non iniettiva di g poiche' 2 nr consecutivi pari e dispari hanno la stessa immagine.

n → f(n)=2n → g(f(n)) = g(2n) = 2n/2 = n  cioe' g∘f = Identita' di N

n → f(n)=2n → h(f(n)) = h(2n) = 2n/2 = n  cioe' h∘f = Identita' di N

conclu:

poiche' h(f(n)) = n,  cioe'  h∘f = I,  h e' la fun inversa di f  ERROR !!!

Attenzione:  2 funzioni  f:X→Y  g:Y→X.
g(f(x)) = x  ∀x∈dom(f),  cioe' g∘f = Identita' di dom(f)

⇒  non e' detto che g sia la funzione inversa di f, solo che assume gli stessi valori sui punti di dominio comune.
cioe' e' vero che 

f^-1(f(x)) = x  ∀x∈dom(f),  cioe' f^-1∘f = Identita' di dom(f), 

ma e' condizione necessaria ma non sufficiente per essere la funzione inversa.

Teo:  2 funzioni  f:X→Y  g:Y→X
g(f(x)) = x  ∀x∈dom(f)  cioe' g∘f = Identita' di dom(f)
⇒  f iniettiva  e  g suriettiva,

• non e' detto  f suriettiva e  g iniettiva
• non e' detto    f e g biiettive.

Se anche  f(g(y)) = y ∀y∈dom(g)  cioe' f∘g = Identita' di dom(g)

⇒  anche g e' iniettiva, e f suriettiva.
Quindi entrambe bi-iettive.

dim: se f avesse 2 sorgenti di ugual immagine  f(x)=f(y)  con x≠y,

per soddisfare  g∘f = I, dovrebbe essere:  g(f(x)) = x  e  g(f(y)) = y,

ma cio' e' impossibile poiche' g e' una funzione e ad un argomento risponde con 1 solo valore, non con 2.

Links

Arrivo: Omotetia ≡ dilatazione (isotropa) di uno spvt.

wp/Funzione_inversa

Approfond

Dirlo

f:N→N  f(n):= 2n   endofunzione iniettiva ma non suriettiva