^^Funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva.

f:X→Y

Iniettiva, iniezione

elementi distinti vanno in elementi distinti

sorgenti diverse, immagini diverse

x ≠ y  ⇒  f(x) ≠ f(y)

f(x) = f(y)  ⇒   x = y

non iniettiva

x ≠ y  e   f(x) = f(y)

Suriettiva, suriezione

∀y∈Y ∃ x∈X:  f(x)=y

ogni elemento del codominio ha almeno 1 controimmagine

non suriettiva

esistono elementi del codominio senza controimmagine

∃y∈Y: ∄x∈X: f(x)=y

La funzione ristretta al range e' suriettiva.

Abuso linguistico: Ogni funzione e' suriettiva sul proprio range.

Biiettiva, biiezione: iniettiva e suriettiva

• ∀y∈Y ∃!x∈X:  (x,y)∈f             ∀y∈Y ∃! (x,y)∈f
• ogni elemento del codominio ha 1 e 1 sola controimmagine

oss: questa condizione e' iniettiva e suriettiva,
ma da sola non assicura ∀x∈X ∃(x,y)∈f  cioe' dom(f)=X,
fatto implicito poiche' e' suppposto nell'inizio pagina "f:X→Y funzione", e per definizione di funzione e' definita su tutto il dominio.

nm: bigezione, funzione bigettiva, funzione biunivoca, corrisponenza biunivoa

wp/Corrispondenza_biunivoca

∀x∈X, ∀y∈Y ∃!  (x,y)∈f   formulazione errata

f:N→N  n→2n   iniettiva ma non suriettiva.

Teo: una endofunzione su un insieme finito;
iniettiva, suriettiva, biiettiva si equivalgono.

Teo: una endofunzione su un insieme infinito;
puo' essere iniettiva e non suriettiva.

Iniettiva ha proprieta' diverse a seconda della cardinalita'.

nm:

"One-to-one" and "onto" are terms that were more common in the older English language literature; "injective", "surjective", and "bijective" were originally coined as French words in the second quarter of the 20th century by the Bourbaki group and imported into English.

As a word of caution,

"a one-to-one function" is one that is injective, while a "one-to-one correspondence" refers to a bijective function. Also, the statement "f maps X onto Y" differs from "f maps X into B", in that the former implies that f is surjective, while the latter makes no assertion about the nature of f. In a complicated reasoning, the one letter difference can easily be missed. Due to the confusing nature of this older terminology, these terms have declined in popularity relative to the Bourbakian terms, which have also the advantage of being more symmetrical.