^^Se y=1/x allora  dy/y = -dx/x   dy/dx = -1/x²

y=1/x   y'= -1/x²   derivata della funzione reciproco.

Notiamo subito che: !!!

y' = -y²    Equazione differenziale.

 

xy=1 x e y reciproci visti come nr,

visti come variabili:

var reciproche, o inversamente proporzionali

d(xy)= xdy + ydx formula del differenziale
d(xy) = 0  
xdy + ydx = 0 e' la formula differenziale della proporzionalita' inversa
dy/y + dx/x = 0 visto in modo simmetrico
dy/y = - dx/x visto esplicito rispetto alla variabile dipendente

piu' in generale il calcolo vale per xy=k, cioe' y=k/x ma si perde la visione simmetrica

dy

dx

= - y

x

= - k

x²

xy=1 e' caso particolare di xy=k

Proporzionalita' inversa in forma differenziale. ydx+xdy = 0.

Caso passaggio al reciproco  x→1/x  y=1/x

y x→1/x  y=1/x  hanno duplice lettura: forma funzionale, ma e' anche il calcolo nr indicato in forma letterale.

 

dy

dx

= - 1

x²

 

dy = - 1

x²

dx

 

dy/y = - dx/x   Tradotto nel linguaggio degli errori di calcolo, dice che:

l'errore relativo del reciproco e' uguale all'errore relativo dell'argomento (in valore assoluto).

Corollario

l'errore relativo della divisione e' uguale alla somma degli errori relativi.

Detto senza abusi linguistici

l'errore relativo della divisione e' uguale alla somma dell'errore degli argomenti.

 

Un altro modo di calcolo

x=A+a = A(1+a/A)  !  dove a/A dovrebbe essere piccolo, diciamo <0,1 o 0,01  1/(1-x) ≈ 1+x.

consideriamo il calcolo (che diventa poi funzione)

y=1/x    y=B+b=B(1+b/B)

y = 1

x

= 1

 A(1+a/A)

= 1

A

· 1

1+a/A

1

A

· (1-a/A)

 

Links

Il calcolo degli errori di calcolo e' strettamente legato al calc differenziale.

 

 

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Titolo

  1. Se y=1/x allora  dy/y = -dx/x   dy/dx = -1/x²
    c: originale.
  2. 3-12-2020   non sono riuscito a trovare l'immediatezza del pensiero.
    Forse sarebbe meglio semplicemente
    y=1/x   y'= -1/x²   derivata della funzione reciproco.

 

Prove di rappresentaz

1
   x2
x1
  

 

y2

y1

 
=
1
   x2
x1
  

 

y2
= 1
y1  
   x2
x1
  

 

y2   1

=
y1  
   x2
x1