y=1/x y'= -1/x² derivata della funzione reciproco.
Notiamo subito che: !!!
y' = -y² Equazione differenziale.
xy=1 | x e y reciproci visti come nr,
visti come variabili: var reciproche, o inversamente proporzionali |
d(xy)= xdy + ydx | formula del differenziale |
d(xy) = 0 | |
xdy + ydx = 0 | e' la formula differenziale della proporzionalita' inversa |
dy/y + dx/x = 0 | visto in modo simmetrico |
dy/y = - dx/x | visto esplicito rispetto alla variabile dipendente |
piu' in generale il calcolo vale per xy=k, cioe' y=k/x ma si perde la visione simmetrica
dy dx |
= - | y x |
= - | k x² |
Proporzionalita' inversa in forma differenziale. ydx+xdy = 0.
y x→1/x y=1/x hanno duplice lettura: forma funzionale, ma e' anche il calcolo nr indicato in forma letterale.
dy dx |
= - | 1 x² |
dy | = - | 1 x² |
dx |
l'errore relativo del reciproco e' uguale all'errore relativo dell'argomento (in valore assoluto).
l'errore relativo della divisione e' uguale alla somma degli errori relativi.
Detto senza abusi linguistici
l'errore relativo della divisione e' uguale alla somma dell'errore degli argomenti.
x=A+a = A(1+a/A) ! dove a/A dovrebbe essere piccolo, diciamo <0,1 o 0,01 1/(1-x) ≈ 1+x.
consideriamo il calcolo (che diventa poi funzione)
y=1/x y=B+b=B(1+b/B)
y | = | 1 x |
= | 1 A(1+a/A) |
= | 1 A |
· | 1 1+a/A |
≈ | 1 A |
· | (1-a/A) |
Il calcolo degli errori di calcolo e' strettamente legato al calc differenziale.
1 |
||
x2 x1 |
y2 y1 |
= |
|
y2 |
= | 1 |
|||
y1 |
|
y2 | 1 | ||||
= | |||||
y1 |
|