^^Algebra

1150  Algebra (Al-Samawal)

1ª precisa definizione del campo abbracciato dall'algebra

operare sulle incognite esattamente allo stesso modo in cui si opera sulle quantità note

Algebra (def)

1. Equazioni. Algebra come risoluzione equazioni.

   ≡ studio risoluzione equazione

   ≡ Algebra: scienza delle equazioni

2. Calcolo letterale.

   ≡ lettere per indicare i nr e calcolare usando solo le proprieta' dei nr.

   ≡ calcolare come in aritmetica, ma facendo astrazione dei numeri concreti

3. Algebra delle struttue algebriche

   invenzione di "struttura algebrica" e loro studio.

4. Algebra come struttura algebrica in senso generico

   un insieme con una somma ed un prodotto distributivo rispetto alla somma.

5. Algebra come struttura algebrica in senso specifico.

   Algebra su un campo.

Algebra come risoluzione equazioni

1. 780-850  al-Khwarizmi
   titolo semplificato: "Calcolo tramite trasposizione ed eliminazione"
2. 1718-1783  d'Alambert  enuncia il "teorema fondamentale dell'algebra": le equazioni di grado n hanno n soluzioni. Dimostrato da Gauss. A questo punto sembrava che un'equaz di grado n dovesse avere come soluzioni espressioni radicali di grado n.
3. 1824  Abel dimostra equaz 5° irrisolvibile coi radicali.
   Galois dimostra che le equazioni di grado superiore al 4° non sono risolvibili in generale coi radicali, e stabilisce in quali casi particolari lo sono.
   Qui
   • finisce l'algebra intesa come risoluzione di equazioni
   • inizia l'algebra come studio delle strutture algebriche.

Algebra come studio di strutture ≡ Algebra delle struttue algebriche.

Galois per risolvere il problema della risoluzone delle equazioni:

• studia le relazioni che sussistono fra le radici, fra di loro e con i coefficienti dell'equazione
• non studia i valori numerici delle soluzioni o l'esistenza di formule risolutive, che non sa se esistono o no

nasce la consapevolezza dell'importanza dello studio delle relazioni tra gli oggetti matematici, e della loro organizzazione in strutture, le strutture algebriche.

Cioe' il metodo di dimostrazione di Galois e' diventato il modello di un nuovo modo di fare algebra: l'algebra delle struttue algebriche.

Nasce l'idea che oltre il calcolo esiste la struttura, calcolo e struttura; cio' non appariva poiche' immersi nella struttura dei nr usuali.

Si puo' rivedere la transizione di pensiero innescata da Galois come una fase in cui gli aspetti di struttura prendono il sopravvento su quelli di calcolo (per la prima volta).

"Dalle quantità alle strutture: l'idea di Galois" di Renato Betti >>>

L'artefice di questo cambiamento fu Evariste Galois. Questo non significa tuttavia che Galois sia l'unico esponente, geniale ma isolato, di questo sviluppo. Tutt'altro. Galois, che lui volesse o no, è l'erede del lavoro di molti, da cui ha colto e di cui ha sintetizzato le idee profonde: la teoria di Galois rappresenta il punto nel quale gli aspetti strutturali diventano maturi e predominanti. Dalla sua concezione emerge la nozione di "gruppo", che presto si estenderà a numerosi contesti, apparentemente isolati, e se ne rende manifesta l'importanza.

Dal suo lavoro,

• lo studio delle equazioni algebriche si trasforma
  • in una teoria delle estensioni dei campi numerici
    (e delle relazioni che le lega ai gruppi di automorfismi)

quella che oggi si chiama corrispondenza di Galois:

• il problema originario di risolvere le equazioni algebriche scompare

o, nel migliore dei casi, rimane ormai a titolo di esempio.

NdR: RobertoOcca: noto una certa tendenza dei matematici a non dare sufficiente importanza-rilevanza agli obiettivi posti e raggiunti nel passato (trovarsi sulle spalle dei giganti che ci hanno preceduto; bere alla fonte che altri hanno scavato).

Algebra e psicologia

D: perche' cosi' tanta discussione sui passaggi?

R: poiche' all'inizio non era pienamente creduta.

Algebra deve essere creduta.
Algebra rimpiazza il significato con la manipolazione simbolica.