^^Numeri reali, complessi, quaternioni, ottonioni.

In Rⁿ esistono solo 4 algebre con divisione

These systems share the following properties:

a·b  multiplication of a,b∈Rⁿ

1. a·(b + c) = a·b + a·c  distributiva sx e dx

   (a + b)·c = a·c + b·c

2. k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)    k∈R
3. |a·b| = |a||b|   here  |a|² = a₁²+...+a_d²
   norma del prodotto = prodotto delle norme.

queste proprieta' sono soddisfatte solo in 4 casi: n = 1, 2, 4, 8, cioe'

numeri reali, complessi, quaternioni, ottonioni.

dim: wp/Hurwitz's_theorem_(composition_algebras) (1859–1919), published posthumously in 1923.

There exists no 3D number system that inherits, in part, the arithmetic properties of real numbers, while a 4D system exists.

Hence a dimension-dependence phenomenon occurs in number systems.

Quaternions and octonions - the products of pure thought - have applications in modern physics ; thus being more than mathematical fabrications.

credits: From Euclid to Riemann.

Ottonioni. Baez plus.maths, octonions

The octonions are the largest of the 4 normed division algebras.

La moltiplicazione in Rⁿ e' serrrpentina

• in Rⁿ è possibile stabilire regole per una moltiplicazione dotata di divisione solo per R¹ R² R⁴ R⁸ , dimensione 1 2 4 8.

Questo e' giusto un misterioso fatto dell'universo.

Beh, se studi matematica non e' misterioso poiche' puoi vedere esattamente perche', ma e' misterioso nel senso che quando lo senti la prima volta, suona pazzesco!

Noterai che le dimensioni raddoppiano ogni volta, e questo e' un aspetto importante del pattern, ma sei lasciato con la domanda: perche' non 16?. Beh, hanno cercato di farlo con 16, e ora sanno esattamente il perche'. Ma per capire perche', devi veramente scavare nel soggetto per un pò.

1843  J.T. Graves discovered the octonions, a non-associative 8D number system, inspired by Hamilton's discovery of quaternions.
 

Links

1. Quaternions.
2. RCHO sono Algebre con divisione.