^^Quaternions.

quaternione    q = a + bi + cj + dk

• somma formale di un nr reale
• e di nr reali che moltiplicano i simboli i j k

a              parte reale del quaternione

bi+cj+dk  parte vettore

(analogo a parte reale e immaginaria di un nr complesso).

somma e prodotto di 2 quaternioni

si svolgono secondo le usuali regole:

operandi

a = a₀ + a₁i + a₂j + a₃k

b = b₀ + b₁i + b₂j + b₃k

Somma

a+b = (a₀+b₀) +(a₁+b₁)i +(a₂+b₂)j +(a₃+b₃)k

Prodotto

ab = (a₀+a₁i+a₂j+a₃k)(b₀+b₁i+b₂j+b₃k)

gli addendi sono

per riottenere una forma quaternione, il prodotto dei simboli deve essere riportato ad un simbolo o un nr reale; le regole sono:

1. i²  j²  k²   =  -1         quadrato = -1
2. ij=k  jk=i  ki=j          nel ciclo i→j→k→i, il
                                   prodotto di 2 consecutivi dà il 3°
3. ij=-ji  jk=-kj  ki=-ik   prodotto dei simboli emisimmetrico

regola che si puo' esprimere in forma compatta con la mitica formula

i² j² k² ijk = -1

Risultato  ab = ∑

 +a0b0  -a1b1  -a2b2  -a3b3 

 +a1b0i +a0b1i +a2b3i -a3b2i 

 +a2b0j +a0b2j +a3b1j -a1b3j 

 +a3b0k +a0b3k +a1b2k -a2b1k 

Teo: i quaternioni sono un corpo non commutativo

Legame quaternionioni con prodotto scalare e vettore

se consideriamo i quaternioni con la componente scalare =0:

a = a₁i+a₂j+a₃k    b = b₁i+b₂j+b₃k

a+b = (a₁+b₁)i+(a₂+b₂)j+(a₃+b₃)k

ab = ∑

ponendo  i² j² k² = 0  la moltiplicazione di quaternioni e' uguale al prodotto vettore.

Se invece si lascia i² j² k² = -1, si puo' interpretare:

• la diagonale discendente come l'opposto del prodotto scalare
• il resto come prodotto vettore

in breve:

prodotto quaternioni  =  prodotto vettore - prodotto scalare.

Rappresentaz alter quaternioni

Come coppia di numeri complessi

q = a + bi + cj + dk =  (a+bi) + (c+di)j

Come matrice complessa 2x2

q = a + bi + cj + dk =

Simpler quaternion construction inet

When I was 17 I tried hard to find a similar construction for complex numbers in 3d (in order to make fractals) and ´discovered´ the quaternions. I still think the way I devised them is more natural: It needs only two operators

• a + bI + cJ + dIJ   quaternione
  I^2=-1    J^2=-1    IJ=-JI

If you add another operator you get the octonions and so on.

Nel librosito

1. Numeri reali, complessi, quaternioni, ottonioni.
2. Python distributions.
3. Calcolo delle equipollenze. 1832 Giusto Bellavitis (1803-1880).
4. Calcolo geometrico. 1888. Peano (1858 - 1932).
5. From Euclid to Riemann.
6. Numeri reali, complessi, quaternioni, ottonioni.
7. Vettori. Storia.
8. GA geometric algebra.

Links inet

1. Elements of quaternions  Hamilton, William Rowan, Sir, 1805-1865
2. Extraordinary physics by Tom Bearden.htm trovato Google maxwell mass vector
   • maxwell.htm
3. johndcook/dot-cross-and-quaternion-products

   johndcook/quaternions

4. 3Blue1Brown/Visualizing quaternions (4d numbers) with stereographic projection

Approfond

diario:

La cosa che mi ha colpito di piu' e' che la notazione i j k del calcolo vettoriale che ho usato, e' un relitto dei quaternioni.

Il prodotto di 2 quaternioni-vettori e' concepibile come la somma formale del prodotto scalare e del prodotto vettore; e' di piu' se si pensa il risultato come un quaternione nel suo campo.

Talk

Residenza

10-3-2022 ho spostata

da ix Calcolo geometrico. Algebra geometrica, Geometric algebra.

a qui ix Algebra. Intro.

perche' mi sembra di aver capito che ha fatto divampare l'interesse per la ricerca delle algebre in generale.

Studio per la migliore esposizione

ab = a0b0  + a0b1i  + a0b2j  + a0b3k

   + a1b0i + a1b1ii + a1b2ij + a1b3ik 

   + a2b0j + a2b1ji + a2b2jj + a2b3jk 

   + a3b0k + a3b1ki + a3b2kj + a3b3kk 

ab = a0b0  +  a0b1i +  a0b2j +  a0b3k

   + a1b0i + -a1b1  +  a1b2k + -a1b3j 

   + a2b0j + -a2b1k + -a2b2  +  a2b3i 

   + a3b0k +  a3b1j + -a3b2i + -a3b3 

operandi

a = a₀+a₁i+a₂j+a₃k    b = b₀+b₁i+b₂j+b₃k

c: tutto attaccato, forse meglio staccato

a = a₀ + a₁i + a₂j + a₃k

b = b₀ + b₁i + b₂j + b₃k