^^Teo: Le mediane si incrociano tutte in 1 unico punto.

In generale 3 rette si intersecano a vicenda in 3 punti,

e' per questo che occorre dimostrare che le mediane si incontrano in 1 unico punto.

3 dim

  1. ricorsiva
  2. il punto di incrocio di 2 mediane divide la mediana in 2 parti con rapporto 2:1.
    Quindi una mediana si incrocia con ognuna delle altre 2 nello stesso punto, quindi tutte e 3 si incrociano nello stesso punto.
  3. Reticolo delle mediane.

Dimostrazione ricorsiva

Diario

Mi era sorto l'interesse per i centri dei trilati, poiche'

i centri dei trilati si assomigliano:

sono associati a 3 segmenti,

Trovai allora su Wikipedia una definizione generale di centro di un triangolo (wp/Punti_notevoli_di_un_triangolo), ora (28-9-2019) ho trovato come sono chiamati i segmenti (wp/Ceviana).

Che i 3 segmenti si incontrino in 1 solo punto, e' facile dimostrarlo per gli assi e le bisettrici; con suggerimento di AndreaFarusi ero riuscito con le altezze, mi mancavano le mediane. Sempre i centri mi avevano sottolineato l'importanza dei punti medi dei lati del trilato, e qui ho "battezzato il trilato dei punti medi", e

 

il trilato dei punti medi mi ha portato a pensare alla loro successione (poiche' la genesi e il generare serie geometriche mi e' sempre piaciuto e interessato)

  

, e qui mi si e' accesa l'idea per la dimostrazione.

E' una dim direi ricorsiva.

Mi domando se sarebbe stata accettata ai tempi di Euclide.

dim:

ripetendo la costruzione del trilato dei punti medi, in breve informale:

  1. il trilato diventa sempre piu' piccolo
  2. il punto di intersezione di 2 mediane di un trilato e' anche il punto di intersezione delle mediane del trilato seguente
    ⇒ e' punto di intersezione di tutti i trilati
  3. questi punti di intersezione, 3 potenzialmente distinti, al procedere della successione risultano sempre piu' vicini a causa del rimpicciolimento del trilato, fino a risultare 1 solo punto = all'intersezione dei trilati.

Avviso al lettore

fino a qui la lettura "piacevole", e mi sembra credibile, ma se si vuole puntualizzare fino in fondo prosegue nell'approfondimento, ma diventa impegnativo e vale la pena solo se si ha un interesse specifico  :-)

 

Approfondimento

Precisando (ma ho ancora qualche dubbio):

dim2: Teo: La mediana di un trilato e' anche mediana del trilato dei punti medi, nella meta' lontana dal vertice.

⇒ per induzione, la mediana del trilato seguente e' contenuto nella mediana dell'attuale.
E: l'intersezione di 2 mediane e' interna al trilato poiche' lo sono le mediane.

E: l'intersezione di 2 mediane e' interna al trilato dei punti medi poiche' ... altrimenti le 2 mediane avrebbero 2 intersezioni distinte: una dentro e una fuori il tri dei punti medi.

dim3: Teo: una successione annidata di insiemi il cui diametro → 0, ha intersezione al massimo di 1 punto. es: successione intervalli [0,1/n]∩=0 ma non (0,1/n) che ha intersezione vuota.

Teo: La mediana di un trilato e' anche mediana del trilato dei punti medi, nella metà lontana dal vertice.

i punti rossi sono punti medi

  1. la mediana del trilato esterno cade sul vertice del trilato dei punti medi, poiche' tale vertice e' il punto medio del lato
  2. la mediana esterna e' diagonale del parallelogramma in cui l'altra diagonale e' lato del tri interno;
    teo: quadrilatero e' parallelogramma  ⇔  le diagonali si dividono reciprocamente a meta'.
  3. ⇒  il lato del tri interno e' diviso a meta' dalla mediana esterna
  4. ⇒  la mediana esterna e' anche mediana interna

Dirlo

Teo: La mediana di un trilato e' anche mediana del trilato dei punti medi (per meta').

 

Dirlo

  1. Il punto di incontro delle mediane e' 1.
  2. Le mediane si incontrano in 1 punto.
  3. Le mediane si incrociano in un unico punto.
  4. Le mediane si incrociano tutte in 1 unico punto.

Links

  1. Mediana di un trilato, baricentro.
  2. Centri di un tri.

  3. inet

  4. .cut-the-knot.org/triangle/medians.shtml

 

 

 

Talk

 

Diario (versione discorsiva)

Mi era sorto l'interesse per i centri dei triangoli, poiche' si assomigliano: associati a 3 segmenti che incrociano in un unico punto, detto "centro".

Trovai allora su Wikipedia una definizione generale di centro di un triangolo (wp/Punti_notevoli_di_un_triangolo), ora (28-9-2019) ho trovato come sono chiamati i segmenti (wp/Ceviana).

Che i 3 segmenti si incontrino in 1 solo punto, e' facile dimostrarlo per gli assi e le bisettrici, con suggerimento di AndreaFarusi ero riuscito con le altezze, mi mancavano le mediane.

 

Versioni

dim:

ripetendo la costruzione del trilato dei punti medi

  1. il trilato diventa sempre piu' piccolo, e cosi' anche le mediane
  2. consideriamo la successione dei trilati e le 3 successioni delle mediane:
  3. ognuna di queste successioni annidate converge ad 1 punto = all'intersezione dei propri elementi
  4. l'intersezione dei trilati contiene ognuna delle intersezioni delle mediane

    ⇒  i punti limite coincidono

dim2: Teo: La mediana di un trilato e' anche mediana del trilato dei punti medi (per meta').

⇒ per induzione, la mediana del trilato seguente e' contenuto nella mediana dell'attuale.

dim3: Teo: una successione annidata di insiemi chiusi (in senso topologico) il cui diametro → 0, ha intersezione = 1 punto. es: successione intervalli [0,1/n), ma non (0,1/n) che e' vuota.

 

dim:

ripetendo la costruzione del trilato dei punti medi, in breve informale:

  1. il trilato diventa sempre piu' piccolo
  2. il punto di intersezione di 2 mediane di un trilato e' anche il punto di intersezione delle mediane del trilato seguente
  3. questi punti di intersezione, 3 potenzialmente distinti, al procedere della successione diventano sempre piu' vicini a causa del rimpicciolimento del trilato, fino a convergere ad 1 solo punto = all'intersezione dei trilati.

Precisando:

dim2: Teo: La mediana di un trilato e' anche mediana del trilato dei punti medi, nella meta' lontana dal vertice.

⇒ per induzione, la mediana del trilato seguente e' contenuto nella mediana dell'attuale.
E: l'intersezione di 2 mediane e' interna al trilato poiche' lo sono le mediane.

dim3: Teo: una successione annidata di insiemi chiusi (in senso topologico) il cui diametro → 0, ha intersezione = 1 punto. es: successione intervalli [0,1/n]∩=0 ma non (0,1/n) che ha intersezione vuota.