^^L'area del quadrato coi vertici sui nodi della quadrettatura, e' sempre un numero intero.

Ci siamo occasionalmente accorti che se i vertici di un quadrato sono mossi sui nodi di una griglia, allora ... 

La storia (a punti)

  1. Tutto e' cominciato 4nov2010 1AT, con un quadrato: .ggb. Si nota che ... (avanti c'e' la risposta)
  2. Mi sono domandato se fosse un caso, o valesse per tutti i quadrati.
  3. Mi sono risposto col teoPitagora, prima algebricamente (sono abituato cosi') (vedere avanti), poi graficamente .ggb. Forse e' il teoPit, non una conseguenza, ma proprio lui, in un caso particolare "inchiodato" ad un reticolo quadrettato.
    d: E' possibile rispondere in altro modo?
  4. E per tutti i rettangoli? E per tutti i poliquadrati? E per tutti i poligoni?
  5. In esplorazione libera sui rettangoli, pero' non vincolati tali, quindi quadrilateri, scopro che per i quadrilateri incrociati ... butterfly.ggb
  6. L'intuizione e' che la risposta sull'area ha a che fare coi "triangoli che costituiscono il bordo del poligono" (il significato del testo tra virgolette e' da precisare).

    Quest'idea intuitiva mi conduce ad un'indagine precisa: l'area dei triangoli.

    Sempre contemporaneamente quest'idea mi fa considerare i poligoni poliquadretti .ggb

    L'area dei rettangoli mi e' immediato che e' intera, e' una conoscenza base di sottofondo ai miei pensieri.

1R: L'area del quadrato coi vertici sui nodi della griglia, e' sempre un numero intero,

nonostante che:

3R dim: calcolo l'ipotenusa col teoPit

L'area e' il suo quadrato, quindi A= c2 = a2 + b2  = intero in quanto somma di quadrati di interi.

L'area dei triangoli (rettangoli)

  1. L'area dei triangoli rettangoli e' meta' di quella del rettangolo scatola (= che li inscatola = rettangolo circoscritto).
  2. La meta' e' intera se il doppio e' pari.
  3. Il pari, che' e' l'area, e' ottenuto dalla moltiplicazione dei 2 lati.
  4. Il pari e' la moltiplicazione di 2 numeri se uno dei 2 e' pari, e' dispari se e solo se i 2 fattori sono dispari.
  5. E' semintera se i lati sono di lunghezza dispari, altrimenti e' intera.

Cmq l'area non puo' essere con la virgola con un qualsiasi numero dopo la virgola: o intera o ,5 (virgola 5).

L'area dei parallelogrammi (e quindi i rettangoli)

Intuitivo: Siccome i lati vanno a coppie, c'e' sempre un doppio di mezzo, che elimina eventuali seminteri.

quadrilat.ggb

Quadrati con i vertici sulla griglia

.ggb il primo casuale, che ha stimolato l'interesse.
.ggb icona
2.ggb costruzione "a mano" basata sulla griglia per spiegare l'area, tramite il metodo di scomposizione
3.ggb costruzione di scomposizione, riferita alla figura, di modo che si adatti automaticamente al variare della figura.

Viene evidenziato il quadrato interno, tramite la definizione di un quadrato lì posto.

Le rette sono costruite in ordine antiorario.

Al variare della figura, il quadrato puo' diventare esterno.
4.ggb Invece di evidenziare il quadrato, vengono evidenziati i triangoli.
5.ggb Costruito: I rettangoli che inscatolano i lati.

Appare (= Come figure non direttamente definite si notano): quadrato interno ed esterno (= quadrato inscritto, e quadrato circoscritto). Una "corona quadrata", in analogia alla corona circolare.

Formule di scomposizione

a,b,c  cateti e ipotenusa del triangolo rettangolo che esternamente completa a quadrato-scatola, = base e altezza dei lati del quadrato

(a+b)2 = c2 + 2ab   sviluppando il quadrato: (a+b)2 =  a2+2ab+b2

a2+2ab+b2  = c2 + 2ab

a2 + b2  = c2   e' il teoPitagora.

5.ggb quadrato interno e esterno

(a+b)2 = (a-b)2 + 4ab

Notare

  1. I lati ortogonali del quadrato, hanno base e altezza scambiati !!!

Teo: Area calcolata coi nodi. >>>

Titolo

  1. Quadrato coi vertici sui nodi della griglia.
    c: questa pagina e' specifica dell'area.
  2. Area del quadrato coi vertici sui nodi della griglia.
    c: Questo e' il titolo-pre, pre studio.
  3. L'area del quadrato coi vertici sui nodi della griglia, e' sempre un numero intero.
    c: Ho scelto questo titolo, che e' in accordo con una visione a posteriori.

Links

  1. Quadrato coi vertici sui nodi della griglia.
  2. esof: Area dei poligoni coi vertici sui nodi della griglia.

 

Alter espo

Un Quadrato coi vertici sui nodi della quadrettatura ha sempre un'area uguale ad un numero intero di quadretti. Come mai ?

Area dei poligoni coi vertici sui nodi della griglia.