^^Curvatura di una linea; raggio di curvatura; angolo di deviazione; circonferenza osculatrice, parabola osculatrice.

Circonferenza osculatrice: e' la circonferenza che approssima un pezzetto di linea curva. Nella definizione si presuppone che: un pezzetto di curva puo' essere approssimato da una circonferenza.
Piu' precisamente
Circonferenza osculatrice di una curva in un punto della curva: e' la circonferenza che approssima la curva in quel punto, cioe' approssima un pezzetto di linea curva centrato su quel punto.
Raggio di curvatura in un punto della curva: e' il raggio della circonferenza osculatrice in quel punto, la circonferenza che approssima la curva in quel punto.
Curvatura in un punto della curva: = 1/R, e' il reciproco del raggio di curvatura (in quel punto).
Angolo di deviazione di una curva: angolo tra direzione di ingresso e di uscita dalla curva

Es Circonferenza osculatrice lungo una curva e moto del suo centro. Caso ellisse.>>>

credits: math.unipd.it Maurizio Cailotto, dove vi sono altre img

Curvatura e raggio di curvatura sono Grandezze reciproche.

Nell'infinitesimo equivaliamo la curva con la circonferenza osculatrice.

Calc raggio di curvatura, da lunghezza dell'arco e angolo di deviazione

Raggio di
curvatura

curvatura

ds = R*dβ

	ds
R =
	dβ

1		dβ
	=
R		ds

∆s = R*∆β

	∆s
R =
	∆β

1		∆β
	=
R		∆s

Esof: Rapporto reciproco. Grandezze reciproche.

Proprieta' della circonferenza osculatrice

La tangente alla curva e la circonferenza osculatrice sono tangenti. Piu' precisamente: la tangente alla curva in un punto e la circonferenza osculatrice nello stesso punto sono tangenti.
cerchio osculatore: la circonferenza osculatrice e' il bordo del cerchio osculatore
piano osculatore: individuato dalla circonferenza osculatrice.

Come calcolare il raggio di curvatura?

Il coefficiente angolare della retta tangente corrisponde a un angolo, ma non e' l'angolo.

y=k*x k=tg(β)

Un caso importante: la curvatura della parabola nel vertice

Consideriamo la parabola piu' semplice nel piano cartesiano: y=x².

Il vertice e' nell'origine. La tangente e' orizzontale, e quindi:

angolo e tangente (tangente trigonometrica dell'angolo) sono uguali in prima approssimazione: β=tg(β).
dx = ds in prima approssimazione

Per calcolare le variazioni angolari, l'idea e' di rifarsi alla derivata di una funzione. La derivata di y=x² e' y'=(1/2)*x.

dβ=(1/2)*dx, siccome dx=ds, e' anche

dβ=(1/2)*ds

ds=2*dβ

R=2

Parabola osculatrice: la somiglianza tra parabola e circonferenza si puo' usare nei 2 versi

Approfondimento

lg: "Angolo di deviazione" vs "Deviazione angolare"

Ho inizialmente usato "Deviazione angolare", per rifarmi all'idea di direzione come parallelismo, senza ancora un sistema di misura angolare, ma poi in pratica in questo contesto serve, e quindi per il Principio della forma finale

e' opportuno introdurlo da subito. Il pensiero di un uso piu' generale della direzione rimane in questa nota.

Talk

Titoli

Curvatura di una linea; raggio di curvatura; circonferenza osculatrice, cerchio osculatore, piano osculatore, parabola osculatrice
Curvatura di una linea; raggio di curvatura; angolo di deviazione; circonferenza osculatrice, parabola osculatrice.
c: 19aprile2015. Non si puo' mettere tutto nel titolo, ma lavorando su Braccialetto elastico, mi sono reso conto che era opportuna la presenza di "angolo di deviazione".

Alter espo

Circonferenza osculatrice e' la circonferenza che approssima un pezzetto di linea curva. Nella definizione si presuppone che: un pezzetto di curva puo' essere approssimato da una circonferenza.

Piu' precisamente

Circonferenza osculatrice di una curva in un punto della curva e' la circonferenza che approssima la curva in quel punto, cioe' approssima un pezzetto di linea curva centrato su quel punto.

Raggio di curvatura in un punto della curva e' il raggio della circonferenza osculatrice in quel punto, la circonferenza che approssima la curva in quel punto.

Curvatura in un punto della curva = 1/R, e' il reciproco del raggio di curvatura (in quel punto).

Raggio di curvatura puntuale