^^Serie geometrica. Prendo e lascio, sempre nello stesso rapporto.

un percorso si svolge in fasi; in ogni fase:

Nella figura:

 

D: cosa si puo' domandare, calcolare ?

 

Esistono rapporti costanti tra le parti e tra le parti e l'intero.

 

Tb progressione misure

misure delle parti rispetto all'intero preso come unita' di misura

fase    far      Resta      fatto             far      Resta      fatto
0   1     1

3

    2

3

      1     q     (1-q)    
1   1

3

    1

3

    2

3

1

3

  q     q     (1-q) q
2   1

3

    1

3

    2

3

1

3

  q     q     (1-q) q
3   1

3

    1

3⁴

    2

3

1

3

  q     q⁴     (1-q) q
4   1

3⁴

    1

3⁵

    2

3

1

3⁴

  q⁴     q⁵     (1-q) q⁴
n   1

3ⁿ

  1

3ⁿ⁺

  2

3

1

3ⁿ

  qⁿ     qⁿ⁺     (1-q)   qⁿ

 

1- 1

3⁵

 =  2

3

( 1 + 1

3

+ 1

3

+ 1

3

+ 1

3⁴

)

 

1-qⁿ⁺ = (1-q)(1+q+q+...+qⁿ)

 

Somma telescopica

1 - q + q - q + q - q + q - q⁴ + q⁴ - q⁵  =   1-q⁵

(1-q) + q(1-q) + q(1-q) + q(1-q) + q⁴(1-q)  =  1-q⁵

(1-q)(1+q+q+q+q⁴) =  1-q⁵

(1-q)(1+q+q+...+qⁿ) = 1-qⁿ⁺

Attenzione

1 + q - q + q - q + q - q + q⁴ - q⁴ + q⁵ = 1+q⁵

(1+q) + q(-1+q) ...   non porta al raccoglimento

 

 

  

S=

    1 +q +q +q +q⁴  
qS=     -q -q -q -q⁴ -q⁵

S-qS = 1-q⁵

S(1-q) = 1-q⁵

S = (1-q⁵)/(1-q)

 

Prodotti notevoli.

 

Dirlo

  1. da fare = fatto + da farsi.
    In ognuna delle fasi; fasi consecutive e fasi complessive dall'inizio.
  2. quanto fatto, quanto manca. Di un percorso, in generale di un'azione.
  3. prendo e lascio. Prendo una parte e lascio il resto, ripeto sul resto con lo stesso rapporto.
    Prendo e lascio, sempre nello stesso rapporto.

 

Links

Partizione in 2: frazioni del totale e loro rapporto.

 

Approfond

 

Talk

 

Studio preparatorio per l'immagine

 

 

 

 

   
   

 

 

 

Studio espo

un percorso si svolge in fasi:

in ogni fase viene fatto i 2/3 di quello che c'e' da fare, e rimane 1/3 da fare

 

prima fase   : fa 2/3, rimane 1/3

fasi seguenti: fa 2/3 del da fare, rimane 1/3

 

  fatto   da fare    
1a fase 2/3 1/3 dell'intero
fasi seguenti   2/3 1/3 del rimanente

 

In ogni fase

una parte del percorso viene fatta

una parte viene lasciata

 

Tentativi sconclusionati per cercare una somma telescopica

stimolata dalla dimostrazione algebrica standard

⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹

1/3 + 1/3 + 1/3

1- 2/3 + (1/3 - 2/3*1/3) + (1/3 - 2/3*1/3)

                (1/3)(1-2/3) + (1/3)(1-2/3)

 

q + q + q

(1 - (1-q)) + (q - (1-q)q) + (q - (1-q)q)

 

  1 + (2q-1) + (2q-1) + q-1                           

2(1+q+q)+ q