^^Serie geometrica. Prendo e lascio, sempre nello stesso rapporto.

un percorso si svolge in fasi; in ogni fase:

Nella figura:

 

D: cosa si puo' domandare, calcolare ?

 

Esistono rapporti costanti tra le parti e tra le parti e l'intero.

 

Tb progressione misure

misure delle parti rispetto all'intero preso come unita' di misura

fase    far      Resta      fatto             far      Resta      fatto
0   1     1

3

     2

3

       1     q     (1-q)    
1   1

3

     1

3²

     2

3

 · 1

3

   q     q²     (1-q) · q
2   1

3²

     1

3³

     2

3

 · 1

3²

   q²     q³     (1-q) · q²
3   1

3³

     1

3⁴

     2

3

 · 1

3³

   q³     q⁴     (1-q) · q³
4   1

3⁴

     1

3⁵

     2

3

 · 1

3⁴

   q⁴     q⁵     (1-q) · q⁴
n   1

3ⁿ

   1

3ⁿ⁺¹

   2

3

 · 1

3ⁿ

   qⁿ     qⁿ⁺¹     (1-q)   qⁿ

 

1- 1

3⁵

  =  2

3

 ( 1 + 1

3

 + 1

3²

 + 1

3³

 + 1

3⁴

 )

 

1-qⁿ⁺¹ = (1-q)(1+q+q²+...+qⁿ)

 

Somma telescopica

1 - q + q - q² + q² - q³ + q³ - q⁴ + q⁴ - q⁵  =   1-q⁵

(1-q) + q(1-q) + q²(1-q) + q³(1-q) + q⁴(1-q)  =  1-q⁵

(1-q)(1+q+q²+q³+q⁴) =  1-q⁵

(1-q)(1+q+q²+...+qⁿ) = 1-qⁿ⁺¹

Attenzione

1 + q - q + q² - q² + q³ - q³ + q⁴ - q⁴ + q⁵ = 1+q⁵

(1+q) + q(-1+q) ...   non porta al raccoglimento

 

 

  

S=

    1 +q +q² +q³ +q⁴  
qS=     -q -q² -q³ -q⁴ -q⁵

S-qS = 1-q⁵

S(1-q) = 1-q⁵

S = (1-q⁵)/(1-q)

 

Prodotti notevoli.

 

Dirlo

  1. da fare = fatto + da farsi.
    In ognuna delle fasi; fasi consecutive e fasi complessive dall'inizio.
  2. quanto fatto, quanto manca. Di un percorso, in generale di un'azione.
  3. prendo e lascio. Prendo una parte e lascio il resto, ripeto sul resto con lo stesso rapporto.
    Prendo e lascio, sempre nello stesso rapporto.

 

Links

Partizione in 2: frazioni del totale e loro rapporto.

 

Approfond

 

Talk

 

Studio preparatorio per l'immagine

 

 

 

 
   
   

 

 

 

Studio espo

un percorso si svolge in fasi:

in ogni fase viene fatto i 2/3 di quello che c'e' da fare, e rimane 1/3 da fare

 

prima fase   : fa 2/3, rimane 1/3

fasi seguenti: fa 2/3 del da fare, rimane 1/3

 

  fatto   da fare    
1a fase 2/3 1/3 dell'intero
fasi seguenti   2/3 1/3 del rimanente

 

In ogni fase

una parte del percorso viene fatta

una parte viene lasciata

 

Tentativi sconclusionati per cercare una somma telescopica

stimolata dalla dimostrazione algebrica standard

² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹

1/3 + 1/3² + 1/3³

1- 2/3 + (1/3 - 2/3*1/3) + (1/3² - 2/3*1/3²)

                (1/3)(1-2/3) + (1/3²)(1-2/3)

 

q + q² + q³

(1 - (1-q)) + (q - (1-q)q) + (q² - (1-q)q²)

 

  1 + (2q-1) + (2q²-1) + q³-1                           

2(1+q+q²)+ q³