Limite di una funzione f: X→Y nel punto x0, X e Y spazi metrici.
∀ε>0 ∃δ>0: d(x,x0)<δ x≠x0 ⇒ d(f(x),L)<ε
per ogni epsilon maggiore di 0, esiste un δ>0 tale che la distanza di x da x0,minore di δ e x≠x0 , implica la distanza di f(x) da L e' minore di ε.
La definizione ha senso anche se la funzione non e' definita nel punto in cui si calcola il limite.
| ∀ε>0 | per ogni epsilon maggiore di 0. Dove per ε si intende: un numero che si ripropone sempre piu' piccolo, un numero piccolo a piacere. Pero' nella richiesta e' "un qualsiasi numero" |
|---|---|
| ∃δ>0 | esiste un δ>0.
Precisamente δ(ε), piu' precisamente δ(ε,x0), cioe' e' un numero che sara' diverso a seconda dell'ε scelto e del punto x0. Fissato per la restante parte dell'affermazione (ma in dipendenza dall'ε e da x0) |
| : | tale che |
| x≠x0 | non conta cio' che la funzione fa in x0: che valore ha, o se e' o non e' definita, poiche' si studiia il suo comportamento all'intorno del limite. |
| ⇒ | implica |
| d(f(x),L) | distanza di f(x) da L |
Bisogna saper dire che la funzione non converge a L. Per far cio' bisogna negare la definizione-affermazione della convergenza a L. Sembra facile ma non lo e'.
La funzione f in x0 NON ha come limite L (=def)
no
Limite di una successione. Definizione spiegata.
