^^Successione matematica.

successione di elementi in un insieme X
f: ℕ→X   una funzione il cui
  • codominio e' X
  • dominio sono i numeri naturali.

ℕ e' l'insieme dei nr naturali.
successione
f: ℕ→X   una funzione il cui dominio sono i numeri naturali.

La successione e' un particolare tipo di funzione, particolare poiche' il suo dominio e' particolare: l'insieme dei nr naturali.

Piu' in generale si puo' considerare successione una funzione il cui dominio e' in corrispondenza biunivoca con N, es un sottoinsieme infinito di  ℤ .

f: N→ℝ successione a valori reali
il codominio sono i nr reali.  ℝ e' l'insieme dei nr reali.

Che differenza tra "successione" e "funzione"?

La diversita' di vedute si esprime nella
scrittura usuale di una successione.

Notazione standard elementi di una successione

funzione f(1) f(2) f(3) ... f(n-1) f(n) f(n+1) ...
successione a1 a2 a3 ... an-1 an an+1 ...

Versione "in colonna"

an ≡ f(n)
     
a1 ≡ f(1)
a2 ≡ f(2)
a3 ≡ f(3)
...   ...
an-1 ≡ f(n-1)
an ≡ f(n)
an+1 ≡ f(n+1)
...   ...

Usare la notazione tipica delle successioni per una funzione f: R→X

si puo' fare

f(x)  ≡ ax
     
f(1.1) ≡ a1.1
f(2.3) ≡ a2.3
f(3.4) ≡ a3.4
...   ...
f(x-1) ≡ ax-1
f(x) ≡ ax
f(x+1) ≡ ax+1
  ... ...

Confronto notazioni, nel caso di successione a valori reali f: N→R

x   

f(x)

 = x2+1          n    an = x2+1
             
1 f(1) = 12+1   1 a1 = 12+1
2 f(2) = 22+1   2 a2 = 22+1
3 f(3) = 32+1   3 a3 = 32+1
... ... ...   ... ... ...
n-1 f(n-1) = (n-1)2+1   n-1 an-1 = (n-1)2+1
n f(n) = n2+1   n an = n2+1
n+1 f(n+1) = (n+1)2+1   n+1 an+1 = (n+1)2+1
... ... ...     ... ...

 

Scrittura letterale. Rappresentazione. Come scrivere una successione.

Successione finite e infinite

 

Approfond

Dirlo

  1. successione a valori in un insieme X
  2. successione di elementi in un insieme X
  3. successione di elementi di un insieme X

Definizioni alternative

Un insieme che ha lo stesso tipo di ordine dei numeri naturali.

Cioe': un insieme ordinato in cui esiste il minimo, e tutti gli altri elementi sono raggiungibili dal minimo tramite il passaggio al successivo. Come per la definizione di Peano dei numeri naturali, ma sono elementi qualsiasi.

Per questo fatto si puo' mettere in corrispondenza biunivoca coi numeri naturali secondo l'ordine. E questo e' il fatto che suggerisce che questa definizione equivalga a quella standard.

La definizione standard inizialmentee ad alcuni puo' sembrare antiintuitiva.

La pratica dice che la definizione standard e' piu' comoda.

Una difficolta' della successione come insieme ordinato, e' quando si ripetono gli stessi elementi: nell'insiemistica standard non c'e' questa "ripetizione dell'elemento", e' un oggetto che viene costruito, e lo strumento e' la coppia ordinata, ma allora e' piu' semplice la def standard.

  

 

 

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Studio espo

 

ax ≡ f(x)       f(x)= x2+1
an ≡ f(n)   f(n)= n2+1
           
a1 ≡ f(1)   f(1)= 12+1
a2 ≡ f(2)   f(2)= 22+1
a3 ≡ f(3)   f(3)= 32+1
...   ...   ... ...
an-1 ≡ f(n-1)   f(n-1)= (n-1)2+1
an ≡ f(n)   f(n)= n2+1
an+1 ≡ f(n+1)   f(n+1)= (n+1)2+1
...   ...   ... ...

 

x   

f(x)=

 x2+1
     
1 f(1)= 12+1
2 f(2)= 22+1
3 f(3)= 32+1
... ... ...
n-1 f(n-1)= (n-1)2+1
n f(n)= n2+1
n+1 f(n+1)= (n+1)2+1
... ... ...
     
n    an = x2+1
     
1 a1 = 12+1
2 a2 = 22+1
3 a3 = 32+1
... ... ...
n-1 an-1 = (n-1)2+1
n an = n2+1
n+1 an+1 = (n+1)2+1
... ... ...

 

ax ≡ f(x)
an ≡ f(n)
     
a1 ≡ f(1)
a2 ≡ f(2)
a3 ≡ f(3)
...   ...
an-1 ≡ f(n-1)
an ≡ f(n)
an+1 ≡ f(n+1)
...   ...
     
x   

f(x)=

 x2+1
     
1 f(1) = 12+1
2 f(2) = 22+1
3 f(3) = 32+1
... ... ...
n-1 f(n-1) = (n-1)2+1
n f(n) = n2+1
n+1 f(n+1) = (n+1)2+1
... ... ...
     
n    an = x2+1
     
1 a1 = 12+1
2 a2 = 22+1
3 a3 = 32+1
... ... ...
n-1 an-1 = (n-1)2+1
n an = n2+1
n+1 an+1 = (n+1)2+1
... ... ...

 

ax ≡ f(x)
an ≡ f(n)
     
a1 ≡ f(1)
a2 ≡ f(2)
a3 ≡ f(3)
...   ...
an-1 ≡ f(n-1)
an ≡ f(n)
an+1 ≡ f(n+1)
...   ...

 

Versione "in colonna"

e poi usare la notazione tipica delle successioni per una funzione f: R→X, e' una cosa che si puo' fare

an ≡ f(n)          f(x)  ≡ ax
             
a1 ≡ f(1)   f(1.1) ≡ a1.1
a2 ≡ f(2)   f(2.3) ≡ a2.3
a3 ≡ f(3)   f(3.4) ≡ a3.4
...   ...   ...   ...
an-1 ≡ f(n-1)   f(x-1) ≡ ax-1
an ≡ f(n)   f(x) ≡ ax
an+1 ≡ f(n+1)   f(x+1) ≡ ax+1
...   ...     ... ...