^^Somma dei reciproci dei nr triangolari.

1 e' considerato triangolare, anche se la forma della sua raffigurazione non e' tale, per convenienza

 

1

1

 +  1

1+2

 +  1

1+2+3

 +  1

1+2+3+4

 +  1

1+2+3+4+5

 + ...  ≡     1
1+...+m
                      n≥1
m≤n
   

e' uguale a

2

1*2

 +  2

2*3

 +  2

3*4

 +  2

4*5

 +  2

5*6

 + ...  ≡  
n≥1
  1
n(n+1)

dim: frml serie aritmetica

1+2+3+...+n = n(n+1)/2

Teo: e' una serie convergente

La mossa per la soluzione e' rendersi conto che

 

1

n(n+1)

 =  
1

n

 -  1
(n+1)

 

e facendo questa sostituizione si ottiene una somma telescopica

 

1

1*2

 +  1

2*3

 +  1
3*4
 +  1
4*5
 +  1
5*6
      =
?
                           
1 - 1
2
 + 
1

2

- 1
3
 + 
1

3

- 1
4
 + 
1

4

- 1
5
 + 
1

5

- 1
6
    somma
telescopica
=
1 - 1
6
                           
1 - 1
2
 + 
1

2

- 1
3
 + 
1

3

- 1
4
 + 
1

4

- 1
5
 + 
1

5

- 1
6
 + ...  + 
1

n

- 1
(n+1)
=
1 - 1
(n+1)
                           
1 - 1
2
 + 
1

2

- 1
3
 + 
1

3

- 1
4
 + 
1

4

- 1
5
 + 
1

5

- 1
6
 + ...  ≡
 
n≥1
1
n(n+1)
=
1

es

1

1

 +  1

1+2

 +  1

1+2+3

 +  1

1+2+3+4

 +  1

1+2+3+4+5

 = 
2(1 - 1
6
)
                     
1

1

 +  1

3

 +  1

6

 +  1

10

 +  1

15

 =   
                     
                30+10+5+3+2

30

 =  5

3

   

Links

  1. Numeri triangolari.
  2. Serie per calcolare i nr triangolari.
  3. ∑ 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... Basel problem.
  4. math.stackexchange/sum-of-reciprocals-of-the-triangle-numbers

Approfondimento

Si puo' calcolare la somma per un pezzo qualsiasi

1
3*4
 +  1
4*5
 +  1
5*6
 +  1
6*7
      = ?
                       
1

3

- 1
4
 + 
1

4

- 1
5
 + 
1

5

- 1
6
 + 
1

6

- 1
7
      =
1

3

- 1
7
                       
1

3

- 1
4
 + 
1

4

- 1
5
 + 
1

5

- 1
6
 + 
1

6

- 1
7
 + ...  + 
1

n

- 1
(n+1)
=
1

3

- 1
(n+1)
                       
1

3

- 1
4
 + 
1

4

- 1
5
 + 
1

5

- 1
6
 + 
1

6

- 1
7
 + ...       =
1

3

 

1
m*(m+1)
 +  1
(m+1)(m+2)
 +  ...  +  1
n*(n+1)
  =
1

m

- 1
(n+1)
                   
1
m*(m+1)
 +  1
(m+1)(m+2)
 +  ...  +  1
n*(n+1)
 + ...   =
1

m

 

Curiosita'

anche la serie geometrica vale 1, come si confrontano gli addendi ?

 

1
2
 +  1
4
 +  1
8
 +  1
16
 +  1
32
 +...   =  1
                       
1

2

 +  1

6

 +  1

10

 +  1

15

 +  1

21

 +...   =  1

 

 

 

Talk

Residenza

criterio: le serie di cui si conosce la formula per il termini n-esimo, sono nel capito questo-aritmetica.

 

cmt: troppo lunga

 

1

1

 +  1

1+2

 +  1

1+2+3

 +  1

1+2+3+4

 +  1

1+2+3+4+5

 +  1

1+2+3+4+5+6

   =

 

2

1*2

 +  2

2*3

 +  2

3*4

 +  2

4*5

 +  2

5*6

 +  2

6*7

    frml serie aritmetica.

 

La mossa per la soluzione e' rendersi conto che

 

1

n(n+1)

 = 
1

n

- 1
(n+1)

 

e facendo questa sostituizione si ottiene una somma telescopica

 

1

1*2

 +  1

2*3

 +  1
3*4
 +  1
4*5
 +  1
5*6
 +  1
6*7
      = ?
                               
1 - 1
2
 + 
1

2

- 1
3
 + 
1

3

- 1
4
 + 
1

4

- 1
5
 + 
1

5

- 1
6
 + 
1

6

- 1
7
      =
1

2

- 1
7
                               
1 - 1
2
 + 
1

2

- 1
3
 + 
1

3

- 1
4
 + 
1

4

- 1
5
 + 
1

5

- 1
6
 + 
1

6

- 1
7
 + ...  + 
1

n

- 1
(n+1)
=
1 - 1
(n+1)
                               
1 - 1
2
 + 
1

2

- 1
3
 + 
1

3

- 1
4
 + 
1

4

- 1
5
 + 
1

5

- 1
6
 + 
1

6

- 1
7
 + ...     =
1