^^Gruppo quoziente. Gruppo semplice. Sottogruppo normale.

Relazione di equivalenza compatibile con un'operazione binaria >>>

Teo: il gruppo quoziente e' generato da un gruppo con una relazione di equivalenza compatibile

1. l'insieme e' l'insieme quoziente fatto dalle classi di equivalenza
   1. l'operazione binaria tra le classi e' data dall'operazione originale sugli elementi, considerandoli come rappresentanti della classe
      {x}+{y} → {x+y}
2. l'omomorfismo canonico del gruppo sul gruppo quoziente e'

   f:X→Q  f(x):= {x}  dim: f(x+y) = {x+y} = {x} + {y} = f(x) + f(y)

3. la classe di equivalenza che contiene l'unita', equi il kernel dell'omomorfismo, e' un gruppo.

4. X = QxK  !!! scomposizione di un gruppo col gruppo quoziente:
   un gruppo e' isomorfo al prodotto cartesiano del gruppo quoziente col gruppo kernel

oss: la compatibilita' della relazione di equivalenza equivale al fatto che la suriezione canonica e' un omomorfismo.

Links

1. esOf: Compatibilita' di strutture, organizzazioni integrate.
2. Relazione di equivalenza.

simple group

occa: non e' scomponibile nel prodotto cartesiano di 2 sottogruppi (propri).

Poi si ricercano le condizioni affinche' un sottogruppo generi una relazione di equivalenza compatibile

not simple

can be broken into 2 smaller groups

•  a nontrivial normal subgroup and the corresponding quotient group.

This process can be repeated, and for finite groups one eventually arrives at uniquely determined simple groups, by the Jordan–Hölder theorem.

Proporzione logica

gruppo : gruppo semplice = numero : numero primo.

A simple group has no non-trivial normal subgroups, just as a prime number has no non-trivial factors.

Come un numero primo non ha fattori, cosi' un gruppo semplice non ha sottogruppi normali, escluso il caso banale.

Links

johndcook/orders-of-finite-simple-groups

Normal subgroup

every kernel is a subgroup, but what about the converse?

is every subgroup a kernel ?    NO

subgrup that is a kernel is said normal .

normal subgroup

is a kernel

nm:

aK laterale sinistro  a∈aK

Ka laterale destro    a∈Ka

{a}= f^-1(f(a))  insieme delle controimmagini di f(a)

Teo: {a}=aK  {a}=Ka  aK=Ka

dim: f(aK)= f(a)f(K) = f(a)u = f(a)  =>  aK ⊆ {a} 

th contenenza inversa {a}⊆aK cioe' ∀a'∈{a} ∃k∈K: a'=ak 

dim: a'a^-1 =k  infatti  f(a'a^-1 ) = f(a' )f(a^-1 ) = f(a)f(a)^-1 = u

Alter

se 2 elementi hanno la stessa immagine, cioe' {b}={a}

f(b)=f(a)   f(b)-f(a)=0   f(b-a)=0   b-a=k∈K     b=a+k

Links

normal-subgroups-and-quotient-groups di Timothy Gowers.

Tecnica risolutrice

If you are trying to find something complicated but have no idea where to start, then pretend you've found what you are looking for, and see what you can say about it.

Links

ref: Ordine debole. Ordinamento di classi. Relazione di equivalenza (partizione) compatibile con la relazione d'ordine.

Talk

dim: a'a^-1 =k   f(a'a^-1 )=f(k)   f(a' )f(a^-1 )=u    f(a)f(a)^-1=u

Simple groups are to groups as prime numbers are to numbers.