^^Dilatazione termica lineare; legge ∆L=λL₀∆T; casi particolari.

Confronto tra casi di dilataz termic. (Come fare in generale per una legge qualsiasi?)

NdR: per semplicita' di lettura-scrittura:	invece di	: ∆L=kL₀∆T	piu' preciso
	scrivo	: ∆L=kL∆T	piu' veloce

Terminologia

FormulaGenerale

∆L=kL∆T

Applico la formula a 2 casi.

Caso A

∆L_A=k_AL_A∆T_A

Caso B

∆L_B=k_BL_B∆T_B

Rapporto B/A

∆L_B		k_BL_B∆T_B
	=
∆L_A		k_AL_A∆T_A

Rapporto di un caso B rispetto ad A, preso come riferimento.

∆L_B		k_B		L_B		∆T_B
	=		*		*
∆L_A		k_A		L_A		∆T_A

Riespresso nei termini delle variabili omonime.

In astratto: il rapporto del prodotto e' uguale al prodotto dei rapporti (delle variabili omonime).

Tabella-elenco di tutti i casi di ..., quelli in cui ...

∆T

Rapporto
∆L_B/∆L_A

Funzione
di 1 variabile

∆L_B
	=	1
∆L_A

∆L_B		∆T_B
	=
∆L_A		∆T_A

∆L=h*∆T

h=k*L

∆L_B		L_B
	=
∆L_A		L_A

∆L=h*L

h=k*∆T

∆L_B		L_B		∆T_B
	=		*
∆L_A		L_A		∆T_A

∆L_B		k_B
	=
∆L_A		k_A

∆L=h*k

h=L*∆T

∆L_B		k_B		∆T_B
	=		*
∆L_A		k_A		∆T_A

∆L_B		k_B		L_B
	=		*
∆L_A		k_A		L_A

∆L_B		k_B		L_B		∆T_B
	=		*		*
∆L_A		k_A		L_A		∆T_A

Tabella-elenco di tutti i casi particolari piu' semplici, quelli in cui ...

Varia 1 variabile per volta, e le altre sono costanti.

Ca
so

Variabile
(conosciuta)

Costanti
(sconosciute)

Rapporto
∆L_B/∆L_A

Funzione
di 1 variabile

L₀ ∆T

∆L_B		λ_B
	=
∆L_A		λ_A

∆L=k*λ

k=L₀*∆T

L₀

λ ∆T

∆L_B		L_0B
	=
∆L_A		L_0A

∆L=k*L₀

k=λ*∆T

∆T

λ L₀

∆L_B		∆T_B
	=
∆L_A		∆T_A

∆L=k*∆T

k=λ*L₀

Caso	Frase che esprime la formula
1	Se varia solo il materiale, allora ... il rapporto tra gli incrementi di lunghezza e' uguale al rapporto tra i coefficienti di dilatazione termica lineare.
2	Se varia solo la lunghezza iniziale, allora ... il rapporto tra gli incrementi di lunghezza e' uguale al rapporto tra le lunghezze iniziali.
3	Se varia solo l'incremento temperatura, allora ... il rapporto tra gli incrementi di lunghezza e' uguale al rapporto tra gli incrementi di temperatura.

L'aspetto un po' sorprendente di queste relazioni e' che si possono fare considerazioni quantitative anche se non si conoscono tutte le grandezze: le costanti del confronto sono sconosciute, pero' proprio perche' costanti non influiscono sul rapporto.

Considerazioni varie

dida:

Per scrivere sul quaderno la tabella tutta intera, senza dividerla in 2 con le frasi a parte, bisogna scrivere in piccolo, senza riga di spaziatura. Solo 1/15 persone ha scritto spontaneamente in piccolo, la tb con commenti in riga. Organizzare le dimensioni.

Frazioni: altezza 6, larghezza 1 per ogni lettera; spazio per "=" 2.

Larghezza "Formula confronto": 10: 3 per ogni frazione, 2 per "=", 1 per ogni spazio a lato.
Larghezza "Var": 5 intestata "var". "Cost": 7.

Numerazione d Caso

L'aggiunta del "caso" alla tb e' un appesantimento se uno ha ben chiara la situazione, ed e' un aiuto alla comprensione all'inizio e quando lo si rivede dopo tempo. Inoltre permette di fare riferimento, anche se in q caso io preferirei un riferimento piu' significativo, tipo 1λ 2L₀ 3∆T, invece dell'anonimo 1 2 3.

Err:

Il rapporto tra le variazioni di lunghezza e' uguale al rapporto tra le variazioni dei coefficienti di dilatazione.
c: dato che la parola "variazione" si ripresenta molte volte, diventa un automatico, o un prezzemolo (se c'e' di la', ci sara' anche di qua). Inoltre in senso non specialistico "variazione" significa anche il valore variato, oltre che la differenza tra il variato ed il riferimento.

"Formula Confronto", o "Rapporto"?

Sembra cretino interrogarsi se sia meglio un titolo o l'altro, pero' queste differenze inducono poi differenze di comportamento, e quindi non sono ignorabili.

"Formula Confronto" ripassa il discorso di quale sia l'origine della formula
"Rapporto" e' operativo

Il titolo operativo:

e' piu' facile per le menti operative, pero' le lascia dove sono
e' piu' comodo quando un riflessivo e' stanco e non ha voglia di riflettere, ma solo di operare
e' piu' veloce in fase operativa

Il titolo riflessivo: comporta un ripasso mentale, che pero' uno deve avere in mente, o voglia di fare. Si adatta meglio alla fase di apprendimento.

Ci sarebbe la soluzione neutra: "Formula confronto, tramite rapporto", pero' e' un titolo troppo lungo per una colonna di tb.

diario:

Dico questo per mostrare come ero mentalizzato con diversi aspetti concomitanti, concorrenti, in superficie/profondita'

"Dilatazione termica lineare; legge ∆L=λ*L₀*∆T; casi particolari.". Il titolo originale della pagina.
"Confronto tra i casi di allungamento termico". Pero' poi molto si e' svolto attorno a quest'altra frase-titolo.

Qual e' esattamente il legame tra questi 2 aspetti? Risposta sintetica: visione moltiplicativa o di rapporto della funzione matematica.
Questo e' il motivo per cui nella tabella dei casi ho fatto anche una colonna in cui descrivo la situazione nei termini del linguaggio delle funzioni, in cui e' evidente la visione moltiplicativa.

Incremento di lunghezza o differenza di lunghezza? Incremento di temperatura o differenza di temperatura? >>>

Come dire a parole la formula

∆L_B		k_B		L_B		∆T_B
	=		*		*
∆L_A		k_A		L_A		∆T_A

Riespresso nei termini delle variabili omonime.

In breve: il rapporto tra gli allungamenti termici e' direttamente proporzionale al rapporto tra le variabili omonime.

Detto a parole, usa dire:
il rapporto tra gli allungamenti termici e':

proporzionale al rapporto tra i coefficienti di dilatazione termica
proporzionale al rapporto tra le lunghezze iniziali
proporzionale al rapporto tra gli incrementi di temperatura

precisando che gli altri rapporti devono rimanere costanti mentre varia solo quello considerato.

Espo in riga: ∆L_B/∆L_A = (k_BL_B∆T_B)/(k_AL_A∆T_A) = (k_B/k_A)(L_B/L_A)(∆T_B/∆T_A)

Mai come in questo caso la scrittura matematica bidimensionale risulta piu' chiara all'occhio.

Casi particolari di confronto

d: ditemi casi particolari, il confronto piu' semplice.

Dida: qui gli allievi possono arrivare subito al punto voluto, o c'e' da guidare un po' tra: "unire casi e condizioni", "generalizzare", "precisare".

Battistini	2 barre fatte di materiali diversi
Grassi	2 barre che hanno subito la stessa variazione di temperatura
	manca un caso
Bini	Ci sarebbe ancora quello con la lunghezza iniziale
	generalizziamo
Bini	2 barre fatte di materiali diversi che hanno la stessa lunghezza iniziale e che hanno subito la stessa variazione di temperatura.
	non e' la generalizzazione, bensi' ...
Battistini	E' l'unione dei 2 casi
	In un certo senso si, pero' la parola "unione" e' in logica un TT (Termine Tecnico), e in questo senso tecnico no, ma ora non ho il tempo di precisare. Preferisco dire semplicemente che e' la precisazione di 1 caso. Riprendendo la domanda, qual e' la generalizzazione?

Principio economico di semplicita' del confronto: variare 1 variabile per volta, le altre tenerle costanti. >>>

Questo principio concorre nella fase iniziale di indagine-individuazione delle variabili. Le variabili posso cercare di variarle 1 per volta quando le ho individuate.

Compito, problemi >>>

Procedimento generale per il confronto di casi particolari.

cc Confrontare casi di dilatazione termica lineare.

Alter espo

Frase	Frase (piu' esplicita)
Il rapporto tra le dilatazioni dei corpi e' uguale al rapporto tra i coefficienti di dilatazione termica.	Il rapporto tra gli incrementi di lunghezza e' uguale al rapporto tra i coefficienti di dilatazione termica lineare.
Il rapporto tra le dilatazioni dei corpi e' uguale al rapporto tra le lunghezze iniziali	Il rapporto tra gli incrementi di lunghezza e' uguale al rapporto tra le lunghezze iniziali.
Il rapporto tra le dilatazioni dei corpi e' uguale al rapporto tra gli incrementi di temperatura.	Il rapporto tra gli incrementi di lunghezza e' uguale al rapporto tra gli incrementi di temperatura.

Vanno bene entrambi i tipi di frase, uno e' piu' specifico-esplicito, l'altro presuppone un contesto.

Ho poi preferito aggiungere la condizione di validita':

Se varia solo il materiale, allora
Il rapporto tra gli incrementi di lunghezza e' uguale al rapporto tra i coefficienti di dilatazione termica lineare.

Riferimento ai casi

Se varia solo il materiale, allora
Il rapporto tra gli incrementi di lunghezza nei 2 casi e' uguale al rapporto tra i coefficienti di dilatazione termica lineare.

Alter espo

Variabile

Costanti

Confronto

∆L_B

∆L_A

Frase

L₀ ∆T

λ_B

λ_A

L₀

λ ∆T

L_0B

L_0A

∆T

λ L₀

∆T_B

∆T_A

Variabile	Costanti	Confronto ∆L_B/∆L_A
λ	L₀ ∆T	λ_B/λ_A
L₀	λ ∆T	L_0B/L_0A
∆T	λ L₀	∆T_B/∆T_A

Formula Generale	∆L=λL₀∆T	Applico la formula a 2 casi
Caso A	∆L_A=λ_AL_0A∆T_A	===========***
Caso B	∆L_B=λ_BL_0B∆T_B	----------------**

c: ho cercato di fare un disegnino.

Rapporto di un caso B rispetto ad A, preso come riferimento.

∆L_B		λ_BL_0B∆T_B		λ_B		L_0B		∆T_B	riespresso nei termini del rapporto delle variabili omonime
	=		=		*		*
∆L_A		λ_AL_0A∆T_A		λ_A		L_0A		∆T_A

Tabella-elenco di tutti i casi particolari piu' semplici, quelli in cui ...

Varia 1 variabile per volta, e le altre sono costanti.

Ca
so

Variabile
(conosciuta)

Costanti
(sconosciute)

Rapporto
∆L_B/∆L_A

Frase che esprime la formula

L₀ ∆T

∆L_B		λ_B
	=
∆L_A		λ_A

Se varia solo il materiale, allora
Il rapporto tra gli incrementi di lunghezza e' uguale al
rapporto tra i coefficienti di dilatazione termica lineare.

L₀

λ ∆T

∆L_B		L_0B
	=
∆L_A		L_0A

Se varia solo la lunghezza iniziale, allora
Il rapporto tra gli incrementi di lunghezza e' uguale al
rapporto tra le lunghezze iniziali.

∆T

λ L₀

∆L_B		∆T_B
	=
∆L_A		∆T_A

Se varia solo l'incremento temperatura, allora

Il rapporto tra gli incrementi di lunghezza e' uguale al
rapporto tra gli incrementi di temperatura.

Alter espo

Si usa * per indicare il prodotto, invece di sottintenderlo.

Si usa λ piuttosto di k.

Formula Generale

∆L=λL∆T

Applico la formula a 2 casi.

Caso A

∆L_A=λ_A*L_0A*∆T_A

Caso B

∆L_B=λ_B*L_0B*∆T_B

Rapporto B/A

∆L_B		λ_BL_0B∆T_B
	=
∆L_A		λ_AL_0A∆T_A

Rapporto di un caso B rispetto ad A, preso come riferimento.

λ_B		L_0B		∆T_B
	*		*
λ_A		L_0A		∆T_A

Riespresso nei termini delle variabili omonime.

In breve: il rapporto tra gli allungamenti termici e' dir prop al rapporto tra le variabili omonime.

Espo in riga: ∆L_B/∆L_A = (λ_B*L_0B*∆T_B)/(λ_A*L_0A*∆T_A) = (λ_B/λ_A)*(L_0B/L_0A)*(∆T_B/∆T_A)

^^Dilatazione termica lineare; legge ∆L=λL0∆T; casi particolari.

Confronto tra casi di dilataz termic. (Come fare in generale per una legge qualsiasi?)

NdR: per semplicita' di lettura-scrittura:

Terminologia

Tabella-elenco di tutti i casi di ..., quelli in cui ...

Tabella-elenco di tutti i casi particolari piu' semplici, quelli in cui ...

Considerazioni varie

dida:

Numerazione d Caso

Err:

"Formula Confronto", o "Rapporto"?

diario:

Incremento di lunghezza o differenza di lunghezza? Incremento di temperatura o differenza di temperatura? >>>

Come dire a parole la formula

Espo in riga: ∆LB/∆LA = (kBLB∆TB)/(kALA∆TA) = (kB/kA)(LB/LA)(∆TB/∆TA)

Casi particolari di confronto

Compito, problemi >>>

Links

Procedimento generale per il confronto di casi particolari.

Alter espo

Ho poi preferito aggiungere la condizione di validita':

Riferimento ai casi

Alter espo

Rapporto di un caso B rispetto ad A, preso come riferimento.

Tabella-elenco di tutti i casi particolari piu' semplici, quelli in cui ...

Alter espo

^^Dilatazione termica lineare; legge ∆L=λL₀∆T; casi particolari.

Espo in riga: ∆L_B/∆L_A = (k_BL_B∆T_B)/(k_AL_A∆T_A) = (k_B/k_A)(L_B/L_A)(∆T_B/∆T_A)