^^Centro di massa. Def standard.

Definizione di centro di massa (CM) di un insieme di punti materiali (pm)

nei manuali normalmente si trova

c = (∑_k m_kr_k)/M

r raggio vettore (posizione vt)  del punto materiale

c raggio vettore del CM

m massa del punto

M massa totale del sistema di p.m.  M= ∑_k m_k

poi normalmente si dimostra che il punto risultato non dipende dalla scelta dell'origine del riferimento vettoriale.

Questo modo di presentare mi ha sempre infastidito, poiche' il CM dipende solo dalla struttura-figura dei punti, lo e' tra le proprieta' intuitive, e quindi volevo una def che l'avesse evidente

(∑_k m_k(P_k - C)) = 0

P punto dove si trova la massa m

C e' il centro di massa

P-C e' il vt posizione di P rispetto a C

e' una definizione implicita del CM, che pero' si basa direttamente sulla configurazione del sistema di punti, e non sulla posizione come l'altra def, che io considero quindi una formula di calcolo del CM, e non la sua definizione; come l'addizione in colonna e' un algoritmo di calcolo dell'addizione, e non la sua def.

Equivalenza def

Dalla def che preferisco, usando un riferimento vettoriale, per cui si passa ai corrispondenti raggi vettori dei P e di G (r e g), svolgendo la moltiplicazione, con qualche conto si arriva alla formula iniziale.

Nel caso di masse uguali, CM equivale matematicamente a Media aritmetica che a sua volta equivale mtm a Minimo della varianza, che a sua volta ricorrisponde a minimo del momento d'inerzia.

Teo: Il CM 2D e' il prodotto cartesiano di 2 CM 1D
        CM2D = CM1DxCM1D

E' un mio modo di dire che mi aiuta a capire una cosa che non ho ancora ben capito, e che nel caso della meccanica (come gentilmente mi fece notare un collega, che ringrazio)

in generale e' FALSO  Mec2D = Mec1DxMec1D   FALSO, 

e' vero solo nel caso in cui il campo di forze, che in generale e'

F = (F_x,F_y) = (F_x(x,y),F_y(x,y))  sia della forma particolare

F(x,y) = (g(x),h(y))

cioe' a parole: il valore del campo di forze, nel punto x ha componente x sempre quella, indipendentemene dal valore di y; cio' permette di scrivere l'equazione del moto per la x solo dipendente dalla variabile x, idem per la y.

Legame tra centro dei punti geometrici e centro di massa dei punti materiali

Centro dei punti geometrici

c = (∑_k r_k)/N

r raggio vettore (posizione vt)  del punto

c raggio vettore del centro

m massa del punto

N numero dei punti

c = (∑_k m_kr_k)/M

r raggio vettore (posizione vt)  del punto materiale

c raggio vettore del CM

m massa del punto

N numero dei punti

se tutti i punti materiali hanno massa uguale, allora

M=Nm

c = (∑_k mr_k)/(Nm) = (∑_k r_k)/N