^^Vettori; prodotto vettoriale  di 2 vettori.

Il prodotto vettoriale, di 2 vettori, A e B, AxB

intensita' |AxB| = |A|*|B|*sen(^AB)  =  AN*B = A*BN    (Notazione >>>)
direzione AxB ^  A  e   AxB ^  B    il prodotto vettoriale e' ortogonale ai suoi fattori
verso A, B, AxB     e' una Terna destra. | Regola della mano destra.

Source: http://serge.mehl.free.fr/chrono/Gibbs.html

AxB = AxBN = ANxB

Proprieta'-relazioni che mi sembrano equivalenti alla definizione

nxB = BN componente di B perpendicolare a n, ruotata di 90 antioraria attorno al versore di rotazione n che individua l'asse di rotazione.

BP+nxB = (B∙n)*n + nxB = rotazione del vettore B di  90 antioraria attorno al versore di rotazione n che individua l'asse di rotazione.

Proprieta'

AxB=0  ⇔  A=0, o B=0,
               o A parallelo B
legge di annullamento del prodotto
k(AxB) = (kA)xB = Ax(kB) prodotto per uno scalare. In particolare:
-(AxB) = (-A)xB = Ax(-B) prodotto per -1
Ax(B+C) = AxB + AxC distributiva destra
(A+B)xC = AxC + BxC distributiva sinistra
BxA = - AxB antisimmetrico, o anticommutativo.
In particolare non e' commutativo.

Il prodotto vettoriale serve per ...

Forza magnetica su una corrente elettrica F=IxB*L.

Teo: AxB = AxBN = ANxB

dim: AxB = Ax(BN+BP) = AxBN + AxBPAxBN + 0 = AxBN  

AxB =  (AN+AP)xB = ANxB+APxB  = ANxB+0 = ANxB

Caso bidimensionale, vettori in un fissato piano

Il prodotto vettoriale in tal caso e' sempre perpendicolare al piano, diciamo xy, cioe' lungo l'asse z. Puo' essere quindi rappresentato da un numero relativo. Dato per scontato che la terna di riferimento sia destra, AxB e' positivo se l'angolo da A a B e' antiorario.

Senso generale del prodotto scalare e vettoriale

e' di costruire un'algebra geometrica.

Da un altro punto di vista: partendo dal modo euclideo di fare le dimostrazioni, la possibilita' di scrivere con un simbolo le varie operazioni-costruzioni che si vanno facendo, e poi la possibilita' di operare sui simboli con regole di manipolazione che producono cose sensate.

Esempi librosito

Torcente di un braccio-forza. Definizione vettoriale.

Links

Prodotto scalare di 2 vettori.

Terna destra. | Regola della mano destra.