^^Numeri reali, assiomi.

Definizione assiomatica, cioe' le proprieta' che li definiscono.

i nr reali hanno 2 op binarie interne  +  *

sono un gruppo commutativo rispetto alla somma

1. ∀a,b        a+b                      è un nr reale
2. (a+b)+c = a+(b+c)             associativa
3. ∃e :  ∀x  x+e=x    e+x=x    elemento neutro, detto zero
4. ∀x ∃y :   x+y=0    y+x=0    elemento inverso, detto opposto -x
5. ∀a,b        a+b=b+a              commutativa

∀a,b,c        a(b+c)=ab+ac         distributiva sx

                  (a+b)c=ac+bc          distributiva dx

tolto lo 0 sono un gruppo commutativo rispetto alla moltiplcazione

1. ∀a,b        ab                       è un nr reale
2. (ab)c = a(bc)                      associativa
3. ∃e :  ∀x  xe=x    ex=x        elemento neutro, detto 1
4. ∀x≠0 ∃y :   xy=1   yx=1    elemento inverso, detto reciproco x^-1
5. ∀a,b        ab=ba                 commutativa

sono un insieme totalmente ordinato

a≤b  e  b≤c  ⇒   a≤c   transitiva

a≤b  e  b≤a  ⇒   a=b   antisimmetrica

a≤a                            riflessiva

a≤b  o  b≤a                totale, tutti comparabili

a≤b  ⇒  a+c≤b+c         monotonia della somma

a≤b e c>0    ⇒  ac≤bc  monotonia moltiplicazione

completezza

ogni sottoinsieme limitato ha un estremo superiore.

La proprieta' distributiva e' il legame tra + e *

Ordine totale, tutti comparabili nessuno escluso, quindi tutti in fila; non un ordine gerarchico come quello militare.

Monotonia: + * sono operatori monotoni; + sempre crescente, * crescente se moltiplicatore >0, decrescente se <0.

lg: distributiva

distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

Approfond proprieta' distributiva

1. La proprieta' distributiva equivale a "Il prodotto e' un'applicazione bilineare".
2. Conseguenze della proprieta' distributiva.

Teo:  l'opposto di un nr positivo e' negativo

dim:  0 ≤ a   0+(-a) ≤ a+(-a)    -a ≤ 0

Teo: legge dei segni della moltiplicazione

dim:

0≤a   0≤b   -a≤0   -b≤0

0≤ab   monotonia.                                     +*+=+

(-a)b = -(ab)  negativo poiche ab positivo.   -*+=-

a(-b) = -(ab)  negativo poiche ab positivo.   +*-=-

(-a)(-b) = ab  positivo                                 -*-=+

Diario

e' la 1a costruzione di nr reali che ho visto, all'universita', analisi1 dei matematici, vista da me indipendente; a fisica era stata presentata solo l'assiomatica.