f:X→X f e' un'endofunzione
es: Laterale di un sottogruppo. Coset.
an+1 = f(an) dato a0
elemento iniziale
riapplicare la funzione al suo risultato
a f(a) f(f(a)) f(f(f(a))) ...
a f(a) f2(a) f3(a)
... fn(a) ...
ed e' invariante sotto l'azione di ognuna delle sue potenze.
sia
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e' la funzione scritta in forma tabella "orizzontale" |
1→2→3→1→ ... {1,2,3}
2→3→1→2→ ... idem
3→1→2→3→ ... idem
4→1→2→3→1→ ... {4,1,2,3}
5→2→3→1→2→ ... {5,1,2,3}
Per pensare alla situazione conviene pensare alla funzione come grafo orientato >>>.
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f funzione non iniettiva |
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f funzione iniettiva |
2 casi:
la funzione non e' iniettiva, poiche' allo stesso elemento arriva da 2 elementi.
Caso particolare: l'ultimo elemento elemento della successione e' l'immagine di se', cioe' e' un elemento fisso della funzione; le sue controimmagini sono se' e almeno chi lo precede nella successione.
⇔ tutte le successioni tornano al 1° elemento.
⇔ tutte non hanno elementi comuni
⇔ sono una partizione dell'insieme.
Unendo i range delle successioni con elementi comuni, si ottiene una partizione dell'insieme, fatta di sottoinsiemi invarianti.
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1→2→3→1→2→ ...
2→3→1→2→3→ ...
3→1→2→3→1→ ...
4→1→2→3→1→ ...
5→2→3→1→2→ ...
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f:X→X genera una successione in X|X|
a0 = (1,2,3,4,5)
an+1 = ( f(an,1), f(an,2), f(an,3), f(an,4), f(an,5) )
volendo invece di una sola successione, si potrebbe estendere a endofunzione su tutto lo spazio X|X|
f:X→X genera una endofunzione in X|X|
f:X|X|→X|X| (a1, a2, a3, a4, a5 ) → ( f(a1), f(a2), f(a3), f(a4), f(a5) )