Laterale di un insieme in un magma >>>
Sottoinsiemi invarianti di una endofunzione.
vedi: Sottogruppi ciclici delle potenze
ag ag2 ag3 ... agn-1 a
se moltiplico un elemento per un altro e poi lo rimoltiplico per i risultanti che ottengo ...
G = {g g2 g3 ... gn=u}
aG = a{g g2 g3 ... gn=u} = {ag ag2 ag3 ... agn-1 a}
riapplico la stessa funzione al suo risultato
a f(a) f(f(a)) f(f(f(a))) ...
a f(a) f2(a) f3(a) ... fn(a) ...
ottengo un insieme invariante sotto l'azione di f, ed e' invariante sotto l'azione di ognuna delle sue potenze.
dim ⇐: au∈aH per ipotesi; au=a proprieta' unita'. Quindi come ipotesi basta un magma con unita'.
dim ⇒: ∃h∈H: a=ah; a-1a=a-1(ah) u=h
dim ⇐: legge di composizione interna del sottogruppo
dim ⇒:
(gh)h-1 ∈H legge di composizione interna del sottogruppo;
(gh)h-1 = g. Da capire meglio, al di la' della dim. Fare disegno.
D: (aH)h = aH invariante per le azioni degli elementi di H
R: se H gruppo
I laterali sono sottinsiemi invarianti delle traslazioni del sottogruppo.
dim:
b∈aH ⇔ b=ah h∈H
bH = (ah)H = a(hH) , = aH ⇔ hH=H
e questo e' vero ∀b se ∀h se H e' gruppo.
Forse e' un se e solo se H e' gruppo, ma non ho tempo per pensarci, ma credo che esistano H=hH senza essere gruppo, ad es togliere dal gruppo un elemento e il suo opposto, ma poi bisognerebbe togliere le potenze ...
dim: se 2 laterali hanno un elemento in comune, allora coincidono
c∈aH c∈bH 2 laterali hanno un elemento in comune
⇒ aH=cH bH=cH teo precedente
⇒ aH=bH
L'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo. (Teo Lagrange)
L'ordine di un elemento divide l'ordine del gruppo.
aK laterale sinistro a∈aK
Ka laterale destro a∈Ka
H⊆G xRhx R=→ xR(Hx)
transitiva: sia xRhx e (hx)Rh'(hx) ; xRh'(hx) ?
R: h'(hx) = (h'h)x e h'h∈H legge di composizione interna
simmetrica: se x→hx allora hx→h-1hx =x
riflessiva: x→ux=x
Dopo aver usato per un numero sufficiente di dimostrazioni l'uso delle parentesi al fine di apprezzare l'importanza della proprienta' associativa, si puo' iniziare ad alleggerire la notazione tralasciandole.
Teo: Un sottoinsieme H di un gruppo, b∈aH,
bH=aH ? Se H e' gruppo.
La contenenza puo' essere propria se h ...
H⊆G xRy def xh=y