^^Laterale di un sottogruppo. Coset.

 

Laterale di un insieme in un magma >>>

 

Sottoinsiemi invarianti di una endofunzione.

 

Studiare i sottoinsiemi invarianti nei gruppi

vedi: Sottogruppi ciclici delle potenze

ag ag2 ag3 ... agn-1 a

se moltiplico un elemento per un altro e poi lo rimoltiplico per i risultanti che ottengo ...

G = {g  g2  g3  ...  gn=u}

aG = a{g  g2  g3  ...  gn=u} = {ag ag2 ag3 ... agn-1 a}

In astratto

riapplico la stessa funzione al suo risultato

a  f(a)  f(f(a))  f(f(f(a)))  ...

a  f(a)   f2(a)     f3(a)       ...  fn(a)  ...

ottengo un insieme invariante sotto l'azione di f, ed e' invariante sotto l'azione di ognuna delle sue potenze.

Teo:  in un gruppo:  a∈aH ⇔ u∈H

dim ⇐: au∈aH per ipotesi;  au=a  proprieta' unita'. Quindi come ipotesi basta un magma con unita'.

dim ⇒:  ∃h∈H:  a=ah;   a-1a=a-1(ah)    u=h

 

Teo: gruppi H⊆G;  g∈G  h∈H,  gh∈H ⇔ g∈H.
                          Contrapositivo gh∉H ⇔ g∉H
        gH=H o  (gH)∩H=∅

dim ⇐: legge di composizione interna del sottogruppo

dim ⇒:

(gh)h-1 ∈H  legge di composizione interna del sottogruppo;

(gh)h-1 = g. Da capire meglio, al di la' della dim. Fare disegno.

 

Teo: aH  moltiplico tutti gli elementi di un insieme H per lo stesso elemento a.

        D: (aH)h = aH  invariante per le azioni degli elementi di H

        R: se H gruppo

I laterali sono sottinsiemi invarianti delle traslazioni del sottogruppo.

 

Teo: b∈aH    H sottoinsieme di un gruppo,
        D: bH=aH  ?  R:  Se H e' gruppo.

dim:

b∈aH ⇔ b=ah  h∈H 

bH = (ah)H = a(hH) , = aH  ⇔  hH=H

e questo e' vero ∀b se ∀h  se  H e' gruppo.

Forse e' un se e solo se H e' gruppo, ma non ho tempo per pensarci, ma credo che esistano H=hH senza essere gruppo, ad es togliere dal gruppo un elemento e il suo opposto, ma poi bisognerebbe togliere le potenze ...

Teo: i laterali di un sottogruppo sono una partizione dell'insieme.

dim: se 2 laterali hanno un elemento in comune, allora coincidono

c∈aH c∈bH  2 laterali hanno un elemento in comune

⇒  aH=cH  bH=cH   teo precedente

⇒  aH=bH

Corollario

L'ordine di un sottogruppo divide l'ordine del gruppo. (Teo Lagrange)

L'ordine di un elemento divide l'ordine del gruppo.

 

Laterale di un sottogruppo

aK laterale sinistro  a∈aK

Ka laterale destro    a∈Ka

 

Relazione di equivalenza nel gruppo generata da un sottogruppo

H⊆G    xRhx  R=→    xR(Hx)

transitiva: sia xRhx e  (hx)Rh'(hx) ;    xRh'(hx) ? 

R: h'(hx) = (h'h)x    e  h'h∈H  legge di composizione interna

simmetrica:  se  x→hx   allora    hx→h-1hx =x

riflessiva:  x→ux=x

 

dida: uso o non uso delle parentesi.

Dopo aver usato per un numero sufficiente di dimostrazioni l'uso delle parentesi al fine di apprezzare l'importanza della proprienta' associativa, si puo' iniziare ad alleggerire la notazione tralasciandole.

 

 

 

 

 

 

Talk

Teo: Un sottoinsieme H di un gruppo,  b∈aH,
        bH=aH  ?  Se H e' gruppo.

 

Hh⊆H ∀h∈H   equi   HxH⊆H


         equi: H semigruppo

La contenenza puo' essere propria se h ...

 

Relazione di equivalenza nel gruppo generata da un sottogruppo

H⊆G    xRy def   xh=y