^^Le traslazioni dell'opbin. Sono isomorfe al gruppo.

Gli stessi concetti possono essere espressi in notazione additiva o moltiplicativa.

Applicazioni sezione dell'opbin

f: XxY→Z  applicazione operazione binaria

 

f: axY→Z  sezione sx sull'elemento a∈X

y→a+y    Left-traslation a , traslazione-addizione sx generata da a
y→ay   Left-multiplication a , moltiplicaz sx generata da a

La:Y→Z   y→La(y)=f(a,y) 

 

f: Xxb→Z  sezione dx sull'elemento b∈Y

x→x+b    Right-traslation b , traslazione dx generata da b
x→xb   Right-multiplication b , moltiplicaz dx generata da b

Rb:X→Z   x→Rb(x)=f(x,b)

nm

nel caso di Operazione binaria interna. f:XxX→X

nm Applicazioni sezione dell'opbin

notaz +: addizioni o traslazioni

notaz *: moltiplicazioni

 

L'operazione binaria e le sue applicazioni sezione sono logicamente equivalenti

Es: la fissata coppia (7,5) da' luogo a 2 trasformazioni di X:

x → 7+x   f(7,)(x) = f(7,x) = 7+x

x → x+5   f(,5)(x) = f(x,5) = x+5

In generale

Traslazione destra e sinistra

La:X→X   x → a+x  Left-traslation a, traslazione sx generata da a

Ra:X→X   x → x+a  Right-traslation a, traslazione dx generata da a

Le traslazioni dell'opbin

Teo: In commutativita', traslazione destra e sinistra coincidono.

Teo: le traslazioni di un gruppo sono biiettive.

dim: fa e f-a sono una l'inversa dell'altra.

Teo: le traslazioni di un gruppo sono isomorfe al gruppo, secondo l'applicazione che associa ad un elemento la sua traslazione.

Possiamo concettualizzare dicendo:

una trasformazione dell'insieme trova una rappresentazione naturale all'interno dell'insieme tramite un suo elemento, invece che essere ospitata in uno spazio funzionale esterno all'insieme.

Se accanto al gruppo G, considerato semplicemente come insieme,

ogni traslazione e' rappresentata in modo isomorfo dall'elemento che la genera tramite l'operazione binaria. Tale elemento e' l'immagine dell'unita' tramite la traslazione, t=ft(u) .

 

Teo: le traslazioni di un gruppo

dim: Non sono omomorfismi. Se fosse fa(x+y) =fa(x)+fa(y) cioe'

(x+y)+a = (x+a)+(y+a)   def traslazione e omomorfismo

x+y = x+a+y   associativa, e semplificaz a a dx

x = x+a            semplif y-dx

0 = a                semplif x-sx

solo l'identita' e' traslazione omomorfismo

dim stringata: Se fosse a(xy)=(ax)(ay) da cui  xy = xay  da cui   u=a.

 

La visione geometrica

L'operazione binaria e le sue applicazioni parziali sono logicamente equivalenti, ma aprono a prospettive diverse:

Esprimere i fatti in termini delle traslazioni porta ad una visione geometrica.

Cmq questo qui detto e' il dualismo algebra-geometria.

Teo: l'applicazione che ad un elemento del semigruppo associa la traslazione da esso generata e' un omomorfismo.

dim: uso la notaz moltiplicativa.

a →  fa : x → ax  

b →  fb : x → bx  

ba →  fba : x → (ba)x   =b(ax) se vale la proprieta' associativa.

Ci puo' essere' di mezzo un'inversione dell'ordine dei termini, a seconda di come definisco l'opbin di composiz di applicaz. Quindi ad essere precisi e' isomorfo all'opbin simmetrica. Se l'opbin e' commutativa questa complicazione non c'e'.

L'essenza e' che opbin sia associativa.

 

Links

  1. Formula inversa, formule inverse. Sistemi per trovarle. Sistema del paragone.