| V | volume |
| Vcil | volume del cilindro |
| Vcon | volume del cono |
| Ab | area di base |
| AL | area laterale |
| AT | area totale |
| h | altezza. Detta "altezza" per convenzione, invece "lunghezza" per il filo. |
| P | perimetro della figura di base |
| C | lunghezza della circonferenza |
| R | raggio della circonferenza |
| G | lunghezza del segmento generatore della superficie del cono |
| V=Ab*h | volume del cilindro = area di base * altezza |
| volume | area laterale | area totale | |
|---|---|---|---|
| cil | V= Ab*L | AL= P*L | AT=Ab+AL |
| conoid | Vcon= (1/3)Vcil | " | |
| cono | " | AL= (1/2)C*G | " |
il volume del cono e' uguale 1/3 del volume del cilindro di ugual base e altezza.
Il volume del conoide e' uguale 1/3 del volume del cilindroide di ugual base e altezza.
L'idea per riportare la misura del volume a misure di lunghezza, e' di usare la formula geometrica:
V=Ab*h volume del cilindro = area di base * altezza
e poi di riportare la misura dell'area di base, che e' un cerchio, a misure di
lunghezza, con la formula geometrica:
A=π*R2 area del cerchio = piGreca * raggio alla seconda.
In totale:
V=Ab*h = (π*R2 )*h devo quindi misurare l'altezza e il raggio del cerchio di base.
Per capire piu' facilmente facciamo uno schema delle dipendenze tra le variabili:
| ← | Ab | ← | R | ← | C | |
| V | ||||||
| ← | h |
Lo stesso schema con in piu' le formule:
| ← | A=π*R2 | ← | R=C/(2*π) | ← | C | |
| V=Ab*h | ||||||
| ← | h |
| V=Ab*h | volume del cilindro = area di base * altezza |
| Ab=π*R2 | area del cerchio = pi-greca * raggio alla seconda |
| C=2*π*R R=C/(2*π) |
circonferenza = 2 * pi-greca * raggio raggio = circonferenza / (2 * piGreca) |
Ora e' possibile procedere in 2 modi:
es: Misurare il volume della bottiglia.
h=21 cm, C=26,6 cm
R=C/(2*π) = (21*cm)/(2*3,14) = (21*cm)/6,28 = 4,23 cm
A=π*R2 = 3,14*(4,23*cm)2 = 3,14*4,232*cm2
= 56,30*cm2
V=A*h = 56,30*cm2 * 26,6*cm = 1182,423*cm3
Questo calcolo e' automatizzato nel foglio di calcolo Cilindro.xls
Conclusione: e' una bottiglia da 1 litro.
| V= | formula del volume del cilindro in funzione di Area di base e altezza |
| A*h = | sostituisco Area del cerchio in funzione del raggio |
| (π*R2)*h = | sostituisco il raggio del cerchio in funzione della circonferenza |
| (π*(C/(2*π))2)*h = | ho finito le sostituzoni. Inizio lo sviluppo della formula con lo scopo di semplificarla, svolgendo le operazioni. Eseguo la potenza del monomio C/(2*π), secondo la regola: la potenza del monomio e' uguale alla potenza dei singoli fattori |
| (π*(C2/(22*π2)))*h = | Eseguo l'operazione secondo la regola: a*(b/c) = (a*b)/c |
| ((π*C2)/(22*π2))*h = | Eseguo l'operazione secondo la regola: di semplificazione di frazione. Semplifico per π |
| (C2/(22*π))*h = | Eseguo l'operazione secondo la regola: (a/b)*c = (a*c)/b |
| (C2*h)/(22*π)) = | 22 = 4 |
| (C2*h)/(4*π) |
Abbiamo una bottiglia e siamo incerti sul suo volume: 1 litro o 0,75?
Decidiamo di misurarne il volume col sistema geometrico, approssimandola a un
cilindro, e misurandone le dimensioni lineari.
Il cilindro avra' -1: come sezione la sezione della bottiglia, e -2: come
altezza un'altezza minore dell'altezza totale della bottiglia, poiche' sarebbe
maggiore come volume, stimiamo a occhio un inferiore al bordo con l'obiettivo di
fare il volume del cilindro uguale a quello della bottiglia.
Calcolare il volume del contenitore, approssimandolo a un cilindro.
| <<< | A | <<< | R | <<< | C | ||
| V | |||||||
| <<< | h |
Lo stesso schema con in piu' le formule:
| =A*h | <<< | A=π*R2 | <<< | R=C/(2*π) | <<< | C | |
| V | |||||||
| <<< | h |
| ← | A |
← |
R |
← |
C | |
| V | A*h | |||||
| ← | h |